Пятый и десятый члены геометрической прогрессии равны 0,003 и 50,421 соответственно. Найди сумму членов прогрессии, заключëнных между ними.

Для решения задачи сначала давайте вспомним некоторые основные понятия о геометрической прогрессии.

Определение и Формулы

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый член, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим:

• Первый член прогрессии как \( a \)
• Знаменатель прогрессии как \( q \)

Тогда n-й член геометрической прогрессии можно выразить формулой: \[ a_n = a \cdot q^{n-1} \]

Дано

• Пятый член: \( a_5 = 0.003 \)
• Десятый член: \( a_{10} = 50.421 \)

Записываем уравнения

Мы можем записать:

1. \( a_5 = a \cdot q^{4} = 0.003 \) (1)
2. \( a_{10} = a \cdot q^{9} = 50.421 \) (2)

Найдем отношение \( a_{10} / a_5 \)

Делим второе уравнение на первое: \[ \frac{a_{10}}{a_5} = \frac{a \cdot q^9}{a \cdot q^4} = q^{5} \] Следовательно: \[ \frac{50.421}{0.003} = q^{5} \] Рассчитаем: \[ q^5 = \frac{50.421}{0.003} = 16807 \] Теперь находим \( q \): \[ q = 16807^{1/5} \] Посчитаем корень: \[ q = 7 \]

Подставим \( q \) обратно, чтобы найти \( a \)

Теперь подставим значение \( q \) в одно из уравнений, например, в уравнение (1): \[ 0.003 = a \cdot 7^{4} \] Сначала вычисляем \( 7^4 \): \[ 7^4 = 2401 \] Подставим это значение: \[ 0.003 = a \cdot 2401 \] Отсюда находим \( a \): \[ a = \frac{0.003}{2401} \approx 0.00000125 \]

Члены прогрессии между 5 и 10

Нам необходимо найти сумму членов прогрессии от 6-го до 9-го включительно. Это 4 члена: \( a_6, a_7, a_8, a_9 \).

1. \( a_6 = a \cdot q^{5} \)
2. \( a_7 = a \cdot q^{6} \)
3. \( a_8 = a \cdot q^{7} \)
4. \( a_9 = a \cdot q^{8} \)

Теперь найдем сумму: \[ S = a_6 + a_7 + a_8 + a_9 = a \cdot (q^5 + q^6 + q^7 + q^8) \]

Выносим \( a \) за скобку: \[ S = a \cdot q^5 (1 + q + q^2 + q^3) \] Мы знаем \( q = 7 \) и можем подставить \( q^5 = 16807\) и \( a \): \[ S = 0.00000125 \cdot 16807 \cdot (1 + 7 + 7^2 + 7^3) \] Теперь найдем сумму внутри скобок: \[ 1 + 7 + 49 + 343 = 400 \] Итак, подставим это значение: \[ S = 0.00000125 \cdot 16807 \cdot 400 \] Сначала умножим: \[ 16807 \cdot 400 = 6722800 \] Теперь: \[ S = 0.00000125 \cdot 6722800 \approx 8.4035 \]

Ответ

Сумма членов прогрессии, заключëнная между пятым и десятым членами, равна примерно 8.404.