3x - 2y = 16; 2x + 4y = - 4
Чтобы решить систему линейных уравнений \(3x - 2y = 16\) и \(2x + 4y = -4\), мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. Здесь я предложу использовать метод сложения (или эллиминации), так как это может быть более наглядным.
Шаг 1: Упрощение второго уравнения
Начнем с второго уравнения \(2x + 4y = -4\). Мы можем упростить его, разделив все коэффициенты на 2:
\[ x + 2y = -2 \]
Теперь наша система уравнений выглядит так:
\[ \begin{cases} 3x - 2y = 16 \quad (1) \\ x + 2y = -2 \quad (2) \end{cases} \]
Шаг 2: Сложение уравнений
Теперь мы можем сложить уравнения (1) и (2). Для этого сначала выразим y из уравнения (2):
\[ x + 2y = -2 \implies 2y = -2 - x \implies y = -1 - \frac{x}{2} \]
Теперь подставим это значение \(y\) в первое уравнение (1):
\[ 3x - 2\left(-1 - \frac{x}{2}\right) = 16 \]
Шаг 3: Решение для x
Упростим уравнение:
\[ 3x + 2 + x = 16 \]
Объединим похожие члены:
\[ 4x + 2 = 16 \]
Теперь вычтем 2 из обеих сторон:
\[ 4x = 14 \]
И теперь разделим обе стороны на 4:
\[ x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \]
Шаг 4: Подстановка для y
Теперь подставим значение \(x\) обратно в уравнение (2) для нахождения \(y\):
\[ \frac{7}{2} + 2y = -2 \]
Вычтем \(\frac{7}{2}\) из обеих сторон:
\[ 2y = -2 - \frac{7}{2} \]
Приведем -2 к общему знаменателю:
\[ -2 = -\frac{4}{2} \implies 2y = -\frac{4}{2} - \frac{7}{2} = -\frac{11}{2} \]
Теперь поделим обе стороны на 2:
\[ y = -\frac{11}{4} \]
Шаг 5: Итоговое решение
Таким образом, мы нашли значения переменных:
\[ x = \frac{7}{2}, \quad y = -\frac{11}{4} \]
Проверка
Неплохо проверить наши значения, подставив их обратно в исходные уравнения:
Для первого уравнения: \[ 3\left(\frac{7}{2}\right) - 2\left(-\frac{11}{4}\right) = \frac{21}{2} + \frac{22}{4} = \frac{21}{2} + \frac{11}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
Для второго уравнения: \[ 2\left(\frac{7}{2}\right) + 4\left(-\frac{11}{4}\right) = 7 - 11 = -4 \]
Оба уравнения верны, значит наши значения \(x\) и \(y\) найдены правильно.
Ответ
\[ x = \frac{7}{2}, \quad y = -\frac{11}{4} \]
