1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если…

Давайте разберем каждую из задач по очереди с подробными объяснениями.

Задача 1:

Найти площадь круга и длину окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см.

1. Определим радиус круга: Квадрат описан около круга, значит, его сторона равна диаметру круга. \[ D = 6 \text{ см} \] Чтобы найти радиус (R), делим диаметр на 2: \[ R = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]

2. Найдем площадь круга (S): Формула для площади круга: \[ S = \pi R^2 \] Подставим значение радиуса: \[ S = \pi \cdot (3)^2 = \pi \cdot 9 \approx 28.27 \text{ см}^2 \]

3. Найдем длину окружности (L): Формула для длины окружности: \[ L = 2\pi R \] Подставляя радиус: \[ L = 2\pi \cdot 3 = 6\pi \approx 18.85 \text{ см} \]

Ответ:

• Площадь круга: \( S \approx 28.27 \text{ см}^2 \)
• Длина окружности: \( L \approx 18.85 \text{ см} \)

Задача 2:

Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если ее градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего кругового сектора?

1. Найдем длину дуги (L_d): Формула для длины дуги: \[ L_d = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi R \] где \( \theta = 150° \) и \( R = 10 \text{ см} \). Подставим: \[ L_d = \frac{150}{360} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{150}{360} \cdot 20\pi \] Упростим: \[ L_d = \frac{5}{12} \cdot 20\pi \approx 26.18 \text{ см} \]

2. Найдем площадь кругового сектора (S): Формула для площади сектора: \[ S = \frac{\theta}{360°} \cdot \pi R^2 \] Подставим значения: \[ S = \frac{150}{360} \cdot \pi \cdot (10)^2 = \frac{150}{360} \cdot 100\pi \] Упростим: \[ S = \frac{5}{12} \cdot 100\pi \approx 130.9 \text{ см}^2 \]

Ответ:

• Длина дуги: \( L_d \approx 26.18 \text{ см} \)
• Площадь кругового сектора: \( S \approx 130.9 \text{ см}^2 \)

Задача 3:

Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного пятиугольника, вписанного в эту же окружность.

1. Находим сторону квадрата (a): Периметр квадрата: \[ P_{ква} = 4a = 16 \text{ дм} \implies a = \frac{16}{4} = 4 \text{ дм} \] Диаметр (D) квадрата: \[ D = a = 4 \text{ дм} \]

2. Найдем радиус (R): Радиус (R) равен половине диаметра квадрата: \[ R = \frac{D}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ дм} \]

3. Находим периметр правильного пятиугольника: Периметр P правильного пятиугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле: \[ P = 5 \cdot a_{пятиуг} = 5 \cdot R \cdot \sqrt{2(1 - \cos(360°/5))} \] Сначала найдем длину стороны \( a_{пятиуг} \): \[ a_{пятиуг} = R \cdot \sqrt{2 - 2\cos(72°)} \approx 2 \cdot \sqrt{2 - 2 \cdot 0.309} \approx 2 \cdot \sqrt{1.382} \approx 2 \cdot 1.176 \approx 2.352 \text{ дм} \] Периметр: \[ P = 5 \cdot 2.352 \approx 11.76 \text{ дм} \]

Ответ:

• Периметр правильного пятиугольника: \( P \approx 11.76 \text{ дм} \)