3 х -3у +2 z=2 4x-5y+2z=1 5x-6y+4z=3 решить систему методом Краймера

Для решения данной системы линейных уравнений методом Крамера, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберемся по порядку.

Дана система уравнений:

1. \( 3x - 3y + 2z = 2 \) (уравнение 1)
2. \( 4x - 5y + 2z = 1 \) (уравнение 2)
3. \( 5x - 6y + 4z = 3 \) (уравнение 3)

Шаг 1: Записать систему в матричной форме

Сначала мы можем записать эту систему в множественной матричной форме. Определим матрицу коэффициентов \( A \), вектор переменных \( X \), и вектор свободных членов \( B \):

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 2 \\ 5 & -6 & 4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Шаг 2: Находим определитель матрицы \( A \)

Определитель матрицы \( A \) обозначается как \( D \). Вычислим его:

\[ D = \begin{vmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 2 \\ 5 & -6 & 4 \end{vmatrix} \]

Используем метод разложения по первой строке:

\[ D = 3 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -6 \end{vmatrix} \]

Теперь вычислим определители 2x2:

1. Для \( \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} = (-5) \cdot 4 - (-6) \cdot 2 = -20 + 12 = -8 \)

2. Для \( \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 16 - 10 = 6 \)

3. Для \( \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -6 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-6) - 5 \cdot (-5) = -24 + 25 = 1 \)

Теперь подставляем эти значения обратно в формулу для \( D \):

\[ D = 3 \cdot (-8) + 3 \cdot 6 + 2 \cdot 1 = -24 + 18 + 2 = -4 \]

Шаг 3: Находим определители для \( x, y, z \)

Теперь находим определители для \( x, y, z \):

1. \( D_x \) — определитель, где вместо первого столбца подставляем вектор \( B \):

\[ D_x = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \\ 3 & -6 & 4 \end{vmatrix} \]

Вычесляем \( D_x \) аналогично:

\[ D_x = 2 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} \]

• \( \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} = -8 \) (уже вычислили)
• \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \)
• \( \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-6) - (-5) \cdot 3 = -6 + 15 = 9 \)

Теперь подставляем обратно:

\[ D_x = 2 \cdot (-8) + 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 9 = -16 - 6 + 18 = -4 \]

2. \( D_y \) — определитель, где вместо второго столбца подставляем вектор \( B \):

\[ D_y = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} \]

Следуя тому же методу:

\[ D_y = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} \]

Теперь, используя ранее вычисленные определители:

\[ D_y = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 6 + 2 \cdot (4 \cdot 3 - 5 \cdot 1) = -6 - 12 + 2 \cdot (12 - 5) \] \[ = -6 - 12 + 2 \cdot 7 = -18 + 14 = -4 \]

3. \( D_z \) — определитель, где вместо третьего столбца подставляем вектор \( B \):

\[ D_z = \begin{vmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 1 \\ 5 & -6 & 3 \end{vmatrix} \]

Аналогично, находим:

\[ D_z = 3 \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -6 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -6 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определители:

\[ \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -6 & 3 \end{vmatrix} = -5 \cdot 3 - 1 \cdot (-6) = -15 + 6 = -9 \]

\[ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 12 - 5 = 7 \]

Подставляем значение:

\[ D_z = 3 \cdot (-9) + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 1 = -27 + 21 + 2 = -4 \]

Шаг 4: Нахождение значений \( x, y, z \)

Теперь находим значения \( x, y, z \):

\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-4}{-4} = 1 \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-4} = 1 \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-4}{-4} = 1 \]

Ответ:

\( x = 1, y = 1, z = 1 \)

Таким образом, мы нашли решение данной системы уравнений: \( (x, y, z) = (1, 1, 1) \).