3 х -3у +2 z=2 4x-5y+2z=1 5x-6y+4z=3 решить систему методом Краймера

Для решения данной системы линейных уравнений методом Крамера, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберемся по порядку. ### Дана система уравнений: 1. \( 3x - 3y + 2z = 2 \) (уравнение 1) 2. \( 4x - 5y + 2z = 1 \) (уравнение 2) 3. \( 5x - 6y + 4z = 3 \) (уравнение 3) ### Шаг 1: Записать систему в матричной форме Сначала мы можем записать эту систему в множественной матричной форме. Определим матрицу коэффициентов \( A \), вектор переменных \( X \), и вектор свободных членов \( B \): \[ A = \begin{bmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 2 \\ 5 & -6 & 4 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} \] ### Шаг 2: Находим определитель матрицы \( A \) Определитель матрицы \( A \) обозначается как \( D \). Вычислим его: \[ D = \begin{vmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 2 \\ 5 & -6 & 4 \end{vmatrix} \] Используем метод разложения по первой строке: \[ D = 3 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -6 \end{vmatrix} \] Теперь вычислим определители 2x2: 1. Для \( \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} = (-5) \cdot 4 - (-6) \cdot 2 = -20 + 12 = -8 \) 2. Для \( \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot 4 - 5 \cdot 2 = 16 - 10 = 6 \) 3. Для \( \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -6 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-6) - 5 \cdot (-5) = -24 + 25 = 1 \) Теперь подставляем эти значения обратно в формулу для \( D \): \[ D = 3 \cdot (-8) + 3 \cdot 6 + 2 \cdot 1 = -24 + 18 + 2 = -4 \] ### Шаг 3: Находим определители для \( x, y, z \) Теперь находим определители для \( x, y, z \): 1. \( D_x \) — определитель, где вместо первого столбца подставляем вектор \( B \): \[ D_x = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 2 \\ 1 & -5 & 2 \\ 3 & -6 & 4 \end{vmatrix} \] Вычесляем \( D_x \) аналогично: \[ D_x = 2 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} \] - \( \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} = -8 \) (уже вычислили) - \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2 \) - \( \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 3 & -6 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-6) - (-5) \cdot 3 = -6 + 15 = 9 \) Теперь подставляем обратно: \[ D_x = 2 \cdot (-8) + 3 \cdot (-2) + 2 \cdot 9 = -16 - 6 + 18 = -4 \] 2. \( D_y \) — определитель, где вместо второго столбца подставляем вектор \( B \): \[ D_y = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} \] Следуя тому же методу: \[ D_y = 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} \] Теперь, используя ранее вычисленные определители: \[ D_y = 3 \cdot (-2) - 2 \cdot 6 + 2 \cdot (4 \cdot 3 - 5 \cdot 1) = -6 - 12 + 2 \cdot (12 - 5) \] \[ = -6 - 12 + 2 \cdot 7 = -18 + 14 = -4 \] 3. \( D_z \) — определитель, где вместо третьего столбца подставляем вектор \( B \): \[ D_z = \begin{vmatrix} 3 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 1 \\ 5 & -6 & 3 \end{vmatrix} \] Аналогично, находим: \[ D_z = 3 \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -6 & 3 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 4 & -5 \\ 5 & -6 \end{vmatrix} \] Вычисляем определители: \[ \begin{vmatrix} -5 & 1 \\ -6 & 3 \end{vmatrix} = -5 \cdot 3 - 1 \cdot (-6) = -15 + 6 = -9 \] \[ \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 12 - 5 = 7 \] Подставляем значение: \[ D_z = 3 \cdot (-9) + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 1 = -27 + 21 + 2 = -4 \] ### Шаг 4: Нахождение значений \( x, y, z \) Теперь находим значения \( x, y, z \): \[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{-4}{-4} = 1 \] \[ y = \frac{D_y}{D} = \frac{-4}{-4} = 1 \] \[ z = \frac{D_z}{D} = \frac{-4}{-4} = 1 \] ### Ответ: \( x = 1, y = 1, z = 1 \) Таким образом, мы нашли решение данной системы уравнений: \( (x, y, z) = (1, 1, 1) \).