Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b a=p+4q, b=2p-q, |p|=7, |q|=2, (p^q)=П/3
Чтобы вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), необходимо использовать формулу:
\[ S = |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \]
где \( \times \) обозначает векторное произведение.
Векторы заданы как:
\[ \mathbf{a} = \mathbf{p} + 4\mathbf{q}, \] \[ \mathbf{b} = 2\mathbf{p} - \mathbf{q}. \]
Сначала найдем векторное произведение \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \):
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (\mathbf{p} + 4\mathbf{q}) \times (2\mathbf{p} - \mathbf{q}). \]
Раскроем скобки:
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{p} \times (2\mathbf{p}) - \mathbf{p} \times \mathbf{q} + 4\mathbf{q} \times (2\mathbf{p}) - 4\mathbf{q} \times \mathbf{q}. \]
Заметим, что:
- \( \mathbf{p} \times \mathbf{p} = 0 \)
- \( \mathbf{q} \times \mathbf{q} = 0 \)
Таким образом, у нас остаётся:
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{p} \times \mathbf{q} + 8\mathbf{q} \times \mathbf{p}. \]
Учтем, что \( \mathbf{q} \times \mathbf{p} = -\mathbf{p} \times \mathbf{q} \), тогда:
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = -\mathbf{p} \times \mathbf{q} - 8\mathbf{p} \times \mathbf{q} = -9\mathbf{p} \times \mathbf{q}. \]
Теперь нам нужно найти модуль этого векторного произведения:
\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = | -9 \mathbf{p} \times \mathbf{q} | = 9 |\mathbf{p} \times \mathbf{q}|. \]
Теперь найдем \( |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| \) с помощью формулы:
\[ |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| \sin(\theta), \]
где \( \theta \) – угол между векторами \( \mathbf{p} \) и \( \mathbf{q} \). Поскольку дано, что \( \theta = \frac{\pi}{3} \):
\[ |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = 7 \cdot 2 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{3} \right). \]
Зная, что \( \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:
\[ |\mathbf{p} \times \mathbf{q}| = 7 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}. \]
Теперь подставим это значение в формулу для площади:
\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = 9 \cdot 7\sqrt{3} = 63\sqrt{3}. \]
Следовательно, площадь параллелограмма, построенного на векторах \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), равна:
\[ S = 63\sqrt{3}. \]
