3x+9y=20 2x-5y=12 решить систему методом обратной матрицы

Чтобы решить систему уравнений методом обратной матрицы, сначала преобразуем систему уравнений в матричную форму.

Данная система уравнений:

1. \( 3x + 9y = 20 \)
2. \( 2x - 5y = 12 \)

Мы можем представить ее в виде матричного уравнения \( AX = B \), где:

• \( A \) — матрица коэффициентов,
• \( X \) — вектор переменных,
• \( B \) — вектор свободных членов.

Для нашей системы это будет выглядеть так:

\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \end{pmatrix} \]

Теперь нам нужно найти обратную матрицу \( A^{-1} \) и затем использовать ее для решения уравнения \( X = A^{-1}B \).

Шаг 1: Находим определитель матрицы \( A \)

Определитель матрицы \( A \) вычисляется по формуле:

\[ \text{det}(A) = ad - bc \]

Где \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).

Для нашей матрицы:

\[ a = 3, \quad b = 9, \quad c = 2, \quad d = -5 \]

Итак, вычисляем определитель:

\[ \text{det}(A) = (3)(-5) - (9)(2) = -15 - 18 = -33 \]

Шаг 2: Находим обратную матрицу \( A^{-1} \)

Обратная матрица для \( 2 \times 2 \) матрицы рассчитывается по формуле:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]

Подставляем значения:

\[ A^{-1} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} -5 & -9 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \]

Упрощаем:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{5}{33} & \frac{9}{33} \\ \frac{2}{33} & -\frac{3}{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{33} & \frac{3}{11} \\ \frac{2}{33} & -\frac{1}{11} \end{pmatrix} \]

Шаг 3: Умножим \( A^{-1} \) на \( B \)

Теперь умножим обратную матрицу \( A^{-1} \) на вектор \( B \):

\[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{5}{33} & \frac{3}{11} \\ \frac{2}{33} & -\frac{1}{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \end{pmatrix} \]

Выполняем операции по умножению:

1. Для \( x \):

\[ x = \frac{5}{33} \cdot 20 + \frac{3}{11} \cdot 12 \]

Упростим:

\[ x = \frac{100}{33} + \frac{36}{11} \]

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель (33):

\[ x = \frac{100}{33} + \frac{108}{33} = \frac{208}{33} \]

2. Для \( y \):

\[ y = \frac{2}{33} \cdot 20 - \frac{1}{11} \cdot 12 \]

Упростим:

\[ y = \frac{40}{33} - \frac{12}{11} \]

Снова найдем общий знаменатель (33):

\[ y = \frac{40}{33} - \frac{36}{33} = \frac{4}{33} \]

Ответ

Таким образом, решение системы уравнений:

\[ x = \frac{208}{33}, \quad y = \frac{4}{33} \]

Это значение для переменных \( x \) и \( y \) является решением данной системы уравнений.