3x+9y=20 2x-5y=12 решить систему методом обратной матрицы

Чтобы решить систему уравнений методом обратной матрицы, сначала преобразуем систему уравнений в матричную форму. Данная система уравнений: 1. \( 3x + 9y = 20 \) 2. \( 2x - 5y = 12 \) Мы можем представить ее в виде матричного уравнения \( AX = B \), где: - \( A \) — матрица коэффициентов, - \( X \) — вектор переменных, - \( B \) — вектор свободных членов. Для нашей системы это будет выглядеть так: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 9 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \end{pmatrix} \] Теперь нам нужно найти обратную матрицу \( A^{-1} \) и затем использовать ее для решения уравнения \( X = A^{-1}B \). ### Шаг 1: Находим определитель матрицы \( A \) Определитель матрицы \( A \) вычисляется по формуле: \[ \text{det}(A) = ad - bc \] Где \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Для нашей матрицы: \[ a = 3, \quad b = 9, \quad c = 2, \quad d = -5 \] Итак, вычисляем определитель: \[ \text{det}(A) = (3)(-5) - (9)(2) = -15 - 18 = -33 \] ### Шаг 2: Находим обратную матрицу \( A^{-1} \) Обратная матрица для \( 2 \times 2 \) матрицы рассчитывается по формуле: \[ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Подставляем значения: \[ A^{-1} = \frac{1}{-33} \begin{pmatrix} -5 & -9 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \] Упрощаем: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{5}{33} & \frac{9}{33} \\ \frac{2}{33} & -\frac{3}{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{33} & \frac{3}{11} \\ \frac{2}{33} & -\frac{1}{11} \end{pmatrix} \] ### Шаг 3: Умножим \( A^{-1} \) на \( B \) Теперь умножим обратную матрицу \( A^{-1} \) на вектор \( B \): \[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \frac{5}{33} & \frac{3}{11} \\ \frac{2}{33} & -\frac{1}{11} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20 \\ 12 \end{pmatrix} \] Выполняем операции по умножению: 1. Для \( x \): \[ x = \frac{5}{33} \cdot 20 + \frac{3}{11} \cdot 12 \] Упростим: \[ x = \frac{100}{33} + \frac{36}{11} \] Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель (33): \[ x = \frac{100}{33} + \frac{108}{33} = \frac{208}{33} \] 2. Для \( y \): \[ y = \frac{2}{33} \cdot 20 - \frac{1}{11} \cdot 12 \] Упростим: \[ y = \frac{40}{33} - \frac{12}{11} \] Снова найдем общий знаменатель (33): \[ y = \frac{40}{33} - \frac{36}{33} = \frac{4}{33} \] ### Ответ Таким образом, решение системы уравнений: \[ x = \frac{208}{33}, \quad y = \frac{4}{33} \] Это значение для переменных \( x \) и \( y \) является решением данной системы уравнений.