Чтобы сравнить числа ( \sqrt{8} - \sqrt{3} ) и ( 2 ), мы можем начать с их вычисления и упрощения.
Шаг 1: Упростим выражение ( \sqrt{8} - \sqrt{3} )
Вычисляем ( \sqrt{8} ):
[
\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}
]
Таким образом, мы имеем:
[
\sqrt{8} - \sqrt{3} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3}
]
Шаг 2: Сравним ( 2\sqrt{2} - \sqrt{3} ) и ( 2 )
Теперь мы хотим выяснить, является ли ( 2\sqrt{2} - \sqrt{3} ) больше, меньше или равно ( 2 ).
Шаг 3: Перепишем неравенство
Сравним ( 2\sqrt{2} - \sqrt{3} ) и ( 2 ):
[
2\sqrt{2} - \sqrt{3} \stackrel{?}{>} 2
]
Это можно переписать как:
[
2\sqrt{2} - 2 - \sqrt{3} > 0
]
Шаг 4: Упростим неравенство
Теперь упрощаем выражение:
[
2(\sqrt{2} - 1) > \sqrt{3}
]
Шаг 5: Найдем числовые значения
Теперь определим числовые значения:
- ( \sqrt{2} ) примерно равно ( 1.414 ).
- ( \sqrt{3} ) примерно равно ( 1.732 ).
Теперь вычислим:
[
2(\sqrt{2} - 1) = 2(1.414 - 1) = 2(0.414) \approx 0.828
]
Теперь сравниваем:
[
0.828 < 1.732
]
Шаг 6: Вывод
Поскольку ( 2(\sqrt{2} - 1) ) меньше, чем ( \sqrt{3} ), это означает, что:
[
2\sqrt{2} - \sqrt{3} < 2
]
Заключение
Таким образом, мы пришли к выводу, что:
[
\sqrt{8} - \sqrt{3} < 2
]
Итак, ( \sqrt{8} - \sqrt{3} ) меньше, чем ( 2 ).
