Вот

Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и теоремой о секущей и касательной, проведенных из одной точки.

1. Информация из условия:

   • Дано: отрезки на катетах, которые касаются окружности.
   • Один из отрезков составляет 3 см, а другой 9 см.
   • Эти отрезки представляют собой касательные, проведенные из одной точки.

2. Используем теорему о касательной и секущей:

   • Пусть \( A \) и \( B \) — точки касания на катетах \( a \) и \( b \) соответственно.
   • По свойству касательной: если из точки к окружности проведены две касательные, то длины этих касательных равны.
   • Это означает, что длины катетов до точки касания равны: \( x = 3 \) и \( y = 9 \) (катеты на рис. \( XY \))..

3. Считаем гипотенузу:

   • Используем теорему Пифагора: \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \).

4. Рассчитываем второй катет:

   • Для второго катета, зная отрезки, считаем, что он получается суммой двух касательных из вершины прямого угла: второй катет равен \( x + y = 3 + 9 = 12 \) см.

Теперь найдем гипотенузу. Используя теорему Пифагора для нового катета \( 12 \) см и первого катета:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}.\]

Итак, гипотенуза треугольника равна 15 см.