Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 24. Выясни, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение…

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность как \( d \). Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:

• 2-й член: \( a + d \)
• 4-й член: \( a + 3d \)
• 3-й член: \( a + 2d \)
• 5-й член: \( a + 4d \)

Согласно условию задачи, если утроить 2-й член и прибавить 4-й член, то получится 24:

\[ 3(a + d) + (a + 3d) = 24 \]

Упростим это уравнение:

\[ 3a + 3d + a + 3d = 24 \] \[ 4a + 6d = 24 \] \[ 2a + 3d = 12 \]

Теперь мы можем выразить \( a \) через \( d \):

\[ 2a = 12 - 3d \implies a = 6 - \frac{3}{2}d \]

Теперь найдем произведение 3-го и 5-го членов арифметической прогрессии:

\[ (a + 2d)(a + 4d) = (6 - \frac{3}{2}d + 2d)(6 - \frac{3}{2}d + 4d) \] \[ = (6 - \frac{3}{2}d + 2d)(6 - \frac{3}{2}d + 4d) = (6 + \frac{1}{2}d)(6 + \frac{5}{2}d) \]

Теперь разложим это выражение:

\[ (6 + \frac{1}{2}d)(6 + \frac{5}{2}d) = 36 + \frac{30}{2}d + \frac{6}{2}d + \frac{5}{4}d^2 = 36 + 15d + \frac{5}{4}d^2 \]

Чтобы найти минимальное значение этого выражения, можно воспользоваться производной. Обозначим \( P(d) = 36 + 15d + \frac{5}{4}d^2 \).

Найдём первую производную:

\[ P'(d) = 15 + \frac{5}{2}d \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 15 + \frac{5}{2}d = 0 \] \[ \frac{5}{2}d = -15 \implies d = -6 \]

Найдём вторую производную:

\[ P''(d) = \frac{5}{2} \]

Поскольку \( P''(d) > 0 \), это означает, что найденная точка является минимумом. Таким образом, разность прогрессии, при которой произведение 3-го и 5-го членов будет минимальным, равна \( d = -6 \).