Если утроить 2-ой член арифметической прогрессии и к результату прибавить 4-ый член, то получится число 24. Выясни, какая должна быть разность прогрессии, чтобы значение произведения 3-го и 5-го членов прогрессии было самым маленьким из возможных.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как \( a \), а разность как \( d \). Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом: - 2-й член: \( a + d \) - 4-й член: \( a + 3d \) - 3-й член: \( a + 2d \) - 5-й член: \( a + 4d \) Согласно условию задачи, если утроить 2-й член и прибавить 4-й член, то получится 24: \[ 3(a + d) + (a + 3d) = 24 \] Упростим это уравнение: \[ 3a + 3d + a + 3d = 24 \] \[ 4a + 6d = 24 \] \[ 2a + 3d = 12 \] Теперь мы можем выразить \( a \) через \( d \): \[ 2a = 12 - 3d \implies a = 6 - \frac{3}{2}d \] Теперь найдем произведение 3-го и 5-го членов арифметической прогрессии: \[ (a + 2d)(a + 4d) = (6 - \frac{3}{2}d + 2d)(6 - \frac{3}{2}d + 4d) \] \[ = (6 - \frac{3}{2}d + 2d)(6 - \frac{3}{2}d + 4d) = (6 + \frac{1}{2}d)(6 + \frac{5}{2}d) \] Теперь разложим это выражение: \[ (6 + \frac{1}{2}d)(6 + \frac{5}{2}d) = 36 + \frac{30}{2}d + \frac{6}{2}d + \frac{5}{4}d^2 = 36 + 15d + \frac{5}{4}d^2 \] Чтобы найти минимальное значение этого выражения, можно воспользоваться производной. Обозначим \( P(d) = 36 + 15d + \frac{5}{4}d^2 \). Найдём первую производную: \[ P'(d) = 15 + \frac{5}{2}d \] Приравняем производную к нулю: \[ 15 + \frac{5}{2}d = 0 \] \[ \frac{5}{2}d = -15 \implies d = -6 \] Найдём вторую производную: \[ P''(d) = \frac{5}{2} \] Поскольку \( P''(d) > 0 \), это означает, что найденная точка является минимумом. Таким образом, разность прогрессии, при которой произведение 3-го и 5-го членов будет минимальным, равна \( d = -6 \).