Для того чтобы определить промежутки, на которых функция ( f(x) = 3x + 3x^2 ) убывает, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найти производную функции
Начнем с нахождения производной функции ( f(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 3x^2)
]
Используем правило дифференцирования:
[
f'(x) = 3 + 6x
]
Шаг 2: Найти точки, в которых производная равна нулю
Чтобы определить, где функция убывает, приравняем производную к нулю:
[
3 + 6x = 0
]
Решим это уравнение:
[
6x = -3 \
x = -\frac{1}{2}
]
Это значение, ( x = -\frac{1}{2} ), - это критическая точка, где производная равна нулю.
Шаг 3: Определить знаки производной
Теперь надо выяснить, где производная положительна или отрицательна. Для этого рассмотрим интервалы, полученные из критической точки ( x = -\frac{1}{2} ):
- Интервал ( (-\infty, -\frac{1}{2}) )
- Интервал ( (-\frac{1}{2}, +\infty) )
Проверка знака производной в каждом интервале
Для интервала ( (-\infty, -\frac{1}{2}) ):
Выбираем точку, например ( x = -1 ):
[
f'(-1) = 3 + 6(-1) = 3 - 6 = -3
]
Здесь производная отрицательна, значит ( f(x) ) убывает на этом интервале.
Для интервала ( (-\frac{1}{2}, +\infty) ):
Выбираем точку, например ( x = 0 ):
[
f'(0) = 3 + 6(0) = 3
]
Здесь производная положительна, значит ( f(x) ) возрастает на этом интервале.
Шаг 4: Сделать вывод
Мы определили, что функция ( f(x) ) убывает на интервале ( (-\infty, -\frac{1}{2}) ) и возрастает на интервале ( (-\frac{1}{2}, +\infty) ).
Ответ
Таким образом, функция ( f(x) = 3x + 3x^2 ) убывает на промежутке:
[
(-\infty, -\frac{1}{2})
]
