Выбери промежутки, на которых функция f ( x ) = 3 x + 3 x 2 f(x)= x 2 3x+3 убывает.
Для того чтобы определить промежутки, на которых функция \( f(x) = 3x + 3x^2 \) убывает, следуем следующим шагам:
Шаг 1: Найти производную функции
Начнем с нахождения производной функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 3x^2) \]
Используем правило дифференцирования:
\[ f'(x) = 3 + 6x \]
Шаг 2: Найти точки, в которых производная равна нулю
Чтобы определить, где функция убывает, приравняем производную к нулю:
\[ 3 + 6x = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 6x = -3 \\ x = -\frac{1}{2} \]
Это значение, \( x = -\frac{1}{2} \), - это критическая точка, где производная равна нулю.
Шаг 3: Определить знаки производной
Теперь надо выяснить, где производная положительна или отрицательна. Для этого рассмотрим интервалы, полученные из критической точки \( x = -\frac{1}{2} \):
- Интервал \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \)
- Интервал \( (-\frac{1}{2}, +\infty) \)
Проверка знака производной в каждом интервале
Для интервала \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): Выбираем точку, например \( x = -1 \):
\[ f'(-1) = 3 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 \] Здесь производная отрицательна, значит \( f(x) \) убывает на этом интервале.
Для интервала \( (-\frac{1}{2}, +\infty) \): Выбираем точку, например \( x = 0 \):
\[ f'(0) = 3 + 6(0) = 3 \] Здесь производная положительна, значит \( f(x) \) возрастает на этом интервале.
Шаг 4: Сделать вывод
Мы определили, что функция \( f(x) \) убывает на интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \) и возрастает на интервале \( (-\frac{1}{2}, +\infty) \).
Ответ
Таким образом, функция \( f(x) = 3x + 3x^2 \) убывает на промежутке:
\[ (-\infty, -\frac{1}{2}) \]
