Высота правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а угол между апофемой и плоскость основания равен 60 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды

Для решения этой задачи нам нужно найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды. Площадь полной поверхности состоит из площади основания и трех областей боковых граней.

Шаг 1: Найдем площадь основания

Основание правильной треугольной пирамиды — это равносторонний треугольник. Для нахождения площади равностороннего треугольника нам нужна длина стороны. Длину стороны можно найти, используя высоту пирамиды и угол между апофемой и плоскостью основания.

Шаг 2: Найдем длину стороны основания

1. У нас есть высота пирамиды \(h = 6\) см и угол \(\alpha = 60^\circ\).
2. Апофема \(a\) пирамиды является гипотенузой прямоугольного треугольника, где высота \(h\) — это противолежащая сторона, а длина половины стороны основания \(b\) — это прилежащая сторона.
3. По определению тангенса: \[ \tan(\alpha) = \frac{h}{b} \] Таким образом: \[ b = \frac{h}{\tan(60^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \text{ см} \]

Так как \(b\) — это половина длины стороны \(s\) равностороннего треугольника: \[ s = 2b = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} \]

Шаг 3: Найдем площадь основания

Площадь равностороннего треугольника \(S\) с длиной стороны \(s\) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 \] Подставим значение \(s\): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 48 = 12\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Шаг 4: Найдем площадь боковых граней

Каждая боковая грань представляет собой равнотреугольный треугольник. Площадь одной боковой грани \(S_b\) можно найти так: \[ S_b = \frac{1}{2} \times s \times a \] где \(a\) — апофема.

Чтобы найти апофему \(a\), используем те же данные: \[ a = \frac{h}{\cos(60^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12 \text{ см} \]

Теперь подставим \(s\) и \(a\) в формулу для площади боковой грани: \[ S_b = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 12 = 24\sqrt{3} \text{ см}^2 \] Поскольку у нас три боковые грани, то общая площадь боковых граней: \[ S_{b\text{, total}} = 3 \times S_b = 3 \times 24\sqrt{3} = 72\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Шаг 5: Найдем полную площадь поверхности пирамиды

Теперь найдем полную площадь поверхности \(S_{total}\) пирамиды: \[ S_{total} = S + S_{b\text{, total}} = 12\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 84\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Ответ

Таким образом, площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды составляет: \[ \boxed{84\sqrt{3}} \text{ см}^2 \]