Вычисли стороны и площадь прямоугольника, если его диагональ равна 7√3 дм и образует с меньшей староной угол 60 градусов.

Чтобы решить задачу, давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) (меньшая сторона) и \( b \) (большая сторона). По условию, диагональ \( d \) равна \( 7\sqrt{3} \) дм, а угол между диагональю и меньшей стороной \( a \) равен \( 60^\circ \).

Шаг 1: Найдём стороны \( a \) и \( b \)

1. Выражение для диагонали: Согласно теореме Пифагора, диагональ \( d \) прямоугольника может быть выражена через его стороны как: \[ d = \sqrt{a^2 + b^2} \] Подставим значение диагонали: \[ 7\sqrt{3} = \sqrt{a^2 + b^2} \] Возведём обе части уравнения в квадрат: \[ (7\sqrt{3})^2 = a^2 + b^2 \] \[ 147 = a^2 + b^2 \quad (1) \]

2. Связь между сторонами и углом: У нас есть угол \( \alpha = 60^\circ \) между диагональю и меньшей стороной \( a \). Можно использовать тригонометрию, чтобы выразить стороны через диагональ: \[ a = d \cdot \cos(60^\circ) = 7\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \quad (2) \] \[ b = d \cdot \sin(60^\circ) = 7\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{21}{2} \quad (3) \]

Шаг 2: Подставим \( a \) и \( b \) в уравнение (1)

Теперь подставим выражения для \( a \) и \( b \) из уравнений (2) и (3) в уравнение (1): \[ \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{21}{2}\right)^2 = 147 \]

Шаг 3: Вычислим \( a^2 \) и \( b^2 \)

1. Для \( a^2 \): \[ a^2 = \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{49 \cdot 3}{4} = \frac{147}{4} \]

2. Для \( b^2 \): \[ b^2 = \left(\frac{21}{2}\right)^2 = \frac{441}{4} \]

Шаг 4: Убедимся, что сумма равна 147

Теперь проверим: \[ \frac{147}{4} + \frac{441}{4} = \frac{588}{4} = 147 \] Это уравнение выполняется, значит стороны \( a \) и \( b \) корректны.

Шаг 5: Площадь прямоугольника

Площадь \( S \) прямоугольника вычисляется по формуле: \[ S = a \cdot b \] Подставим найденные значения \( a \) и \( b \): \[ S = \left(\frac{7\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{21}{2}\right) = \frac{147\sqrt{3}}{4} \]

Ответ:

• \( a = \frac{7\sqrt{3}}{2} \) дм
• \( b = \frac{21}{2} \) дм
• Площадь \( S = \frac{147\sqrt{3}}{4} \) дм²