В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 75 , а сумма второго и третьего члена равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии
Давайте решим эту задачу, шаг за шагом.
Пусть первый член геометрической прогрессии — это \( a \), а знаменатель прогрессии — \( q \). Тогда:
- Первый член: \( a \)
- Второй член: \( aq \)
- Третий член: \( aq^2 \)
Согласно условию, у нас есть две суммы:
Сумма первого и второго члена равна 75: \[ a + aq = 75 \]
Сумма второго и третьего члена равна 150: \[ aq + aq^2 = 150 \]
Теперь у нас есть две уравнения, и мы можем их решить.
Шаг 1: Решим первое уравнение
Из первого уравнения можем вынести \( a \): \[ a(1 + q) = 75 \] Тогда: \[ a = \frac{75}{1 + q} \]
Шаг 2: Подставим \( a \) во второе уравнение
Теперь подставим \( a \) во второе уравнение: \[ aq + aq^2 = 150 \]
Подставляем \( a \): \[ \frac{75}{1 + q} \cdot q + \frac{75}{1 + q} \cdot q^2 = 150 \]
Упрощаем: \[ \frac{75q}{1 + q} + \frac{75q^2}{1 + q} = 150 \]
Сложим оба дроби: \[ \frac{75(q + q^2)}{1 + q} = 150 \]
Шаг 3: Умножим обе стороны на \( 1 + q \) \[ 75(q + q^2) = 150(1 + q) \]
Разделим обе стороны на 75: \[ q + q^2 = 2(1 + q) \]
Теперь раскроем скобки: \[ q + q^2 = 2 + 2q \]
Шаг 4: Переносим все в одну сторону \[ q^2 - q - 2 = 0 \]
Шаг 5: Решаем квадратное уравнение
Мы имеем \[ q^2 - q - 2 = 0 \]
С помощью формулы квадратного уравнения \( q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \), находим \( q \):
\[ q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ q = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Таким образом, получаем два значения для \( q \): \[ q_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad q_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Поскольку мы рассматриваем геометрическую прогрессию, мы будем использовать \( q = 2 \) (отрицательное значение не подходит для данной задачи).
Шаг 6: Найдем значение \( a \)
Теперь, когда мы знаем \( q = 2 \), подставим обратно в формулу для \( a \): \[ a = \frac{75}{1 + 2} = \frac{75}{3} = 25 \]
Шаг 7: Найдем первые три члена
Теперь можем найти первые три члена геометрической прогрессии:
- Первый член: \( a = 25 \)
- Второй член: \( aq = 25 \cdot 2 = 50 \)
- Третий член: \( aq^2 = 25 \cdot 2^2 = 25 \cdot 4 = 100 \)
Ответ: Первые три члена геометрической прогрессии: \( 25, 50, 100 \).
