В геометрической прогрессии сумма первого и второго члена равна 75 , а сумма второго и третьего члена равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии

Давайте решим эту задачу, шаг за шагом. Пусть первый член геометрической прогрессии — это \( a \), а знаменатель прогрессии — \( q \). Тогда: - Первый член: \( a \) - Второй член: \( aq \) - Третий член: \( aq^2 \) Согласно условию, у нас есть две суммы: 1. Сумма первого и второго члена равна 75: \[ a + aq = 75 \] 2. Сумма второго и третьего члена равна 150: \[ aq + aq^2 = 150 \] Теперь у нас есть две уравнения, и мы можем их решить. **Шаг 1: Решим первое уравнение** Из первого уравнения можем вынести \( a \): \[ a(1 + q) = 75 \] Тогда: \[ a = \frac{75}{1 + q} \] **Шаг 2: Подставим \( a \) во второе уравнение** Теперь подставим \( a \) во второе уравнение: \[ aq + aq^2 = 150 \] Подставляем \( a \): \[ \frac{75}{1 + q} \cdot q + \frac{75}{1 + q} \cdot q^2 = 150 \] Упрощаем: \[ \frac{75q}{1 + q} + \frac{75q^2}{1 + q} = 150 \] Сложим оба дроби: \[ \frac{75(q + q^2)}{1 + q} = 150 \] **Шаг 3: Умножим обе стороны на \( 1 + q \)** \[ 75(q + q^2) = 150(1 + q) \] Разделим обе стороны на 75: \[ q + q^2 = 2(1 + q) \] Теперь раскроем скобки: \[ q + q^2 = 2 + 2q \] **Шаг 4: Переносим все в одну сторону** \[ q^2 - q - 2 = 0 \] **Шаг 5: Решаем квадратное уравнение** Мы имеем \[ q^2 - q - 2 = 0 \] С помощью формулы квадратного уравнения \( q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -2 \), находим \( q \): \[ q = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ q = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ q = \frac{1 \pm 3}{2} \] Таким образом, получаем два значения для \( q \): \[ q_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad q_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] Поскольку мы рассматриваем геометрическую прогрессию, мы будем использовать \( q = 2 \) (отрицательное значение не подходит для данной задачи). **Шаг 6: Найдем значение \( a \)** Теперь, когда мы знаем \( q = 2 \), подставим обратно в формулу для \( a \): \[ a = \frac{75}{1 + 2} = \frac{75}{3} = 25 \] **Шаг 7: Найдем первые три члена** Теперь можем найти первые три члена геометрической прогрессии: - Первый член: \( a = 25 \) - Второй член: \( aq = 25 \cdot 2 = 50 \) - Третий член: \( aq^2 = 25 \cdot 2^2 = 25 \cdot 4 = 100 \) **Ответ:** Первые три члена геометрической прогрессии: \( 25, 50, 100 \).