Даны два числовых набора: 1.5, 7, 4, 8; 2.9,4, 21,12. Вычисли дисперсии этих наборов и определи, дисперсия какого набора больше. Запиши в каждое поле ответа число или символ…

Чтобы решить задачу, давайте сначала вспомним, что такое дисперсия и как её вычислять.

Дисперсия — это мера разброса значений набора данных относительно их среднего значения. Она показывает, насколько сильно значения в наборе отклоняются от среднего.

Формула для вычисления дисперсии \(D\) для выборки выглядит следующим образом:

\[ D = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

где \(n\) — количество элементов в наборе, \(x_i\) — каждое из значений в наборе, а \(\bar{x}\) — среднее значение набора.

Шаг 1: Вычислим среднее для каждого набора

Набор 1: \(1.5, 7, 4, 8\)

1. Находим сумму значений: \[ S_1 = 1.5 + 7 + 4 + 8 = 20.5 \]

2. Находим среднее: \[ \bar{x_1} = \frac{S_1}{n_1} = \frac{20.5}{4} = 5.125 \]

Набор 2: \(2.9, 4, 21, 12\)

1. Находим сумму: \[ S_2 = 2.9 + 4 + 21 + 12 = 39.9 \]

2. Находим среднее: \[ \bar{x_2} = \frac{S_2}{n_2} = \frac{39.9}{4} = 9.975 \]

Шаг 2: Вычислим дисперсии для каждого набора

Дисперсия для Набора 1:

\[ D_1 = \frac{1}{4} \left((1.5 - 5.125)^2 + (7 - 5.125)^2 + (4 - 5.125)^2 + (8 - 5.125)^2\right) \]

1. Вычисляем отклонения от среднего:

   • \( (1.5 - 5.125) = -3.625; \quad (-3.625)^2 = 13.140625 \)
   • \( (7 - 5.125) = 1.875; \quad (1.875)^2 = 3.515625 \)
   • \( (4 - 5.125) = -1.125; \quad (-1.125)^2 = 1.265625 \)
   • \( (8 - 5.125) = 2.875; \quad (2.875)^2 = 8.265625 \)

2. Сложим полученные значения: \[ 13.140625 + 3.515625 + 1.265625 + 8.265625 = 26.1875 \]

3. Находим дисперсию: \[ D_1 = \frac{26.1875}{4} = 6.546875 \]

Дисперсия для Набора 2:

\[ D_2 = \frac{1}{4} \left((2.9 - 9.975)^2 + (4 - 9.975)^2 + (21 - 9.975)^2 + (12 - 9.975)^2\right) \]

1. Вычисляем отклонения от среднего:

   • \( (2.9 - 9.975) = -7.075; \quad (-7.075)^2 = 50.105625 \)
   • \( (4 - 9.975) = -5.975; \quad (-5.975)^2 = 35.700625 \)
   • \( (21 - 9.975) = 11.025; \quad (11.025)^2 = 121.550625 \)
   • \( (12 - 9.975) = 2.025; \quad (2.025)^2 = 4.100625 \)

2. Сложим полученные значения: \[ 50.105625 + 35.700625 + 121.550625 + 4.100625 = 211.4575 \]

3. Находим дисперсию: \[ D_2 = \frac{211.4575}{4} = 52.864375 \]

Шаг 3: Сравнение дисперсий

Теперь у нас есть данные:

• \(D_1 = 6.546875\)
• \(D_2 = 52.864375\)

Сравним: \[ D_1 < D_2 \]

Ответ:

• \(D_1 = 6.546875\)
• \(D_2 = 52.864375\)
• \(D_1 < D_2\)