исследование функции и построение её: y=x^4 -5x^2 + 4

Для исследования функции \( y = x^4 - 5x^2 + 4 \) и построения ее графика, давайте проведем несколько шагов.

Шаг 1: Определение области определения функции

Функция \( y = x^4 - 5x^2 + 4 \) является полиномом, и полиномы определены для всех значений \( x \). Таким образом, область определения: \[ D = (-\infty, +\infty) \]

Шаг 2: Нахождение производной

Чтобы понять поведение функции, нам нужно найти её производную. Это поможет определить точки экстремумов (минимумы и максимумы).

Формула для нахождения производной: \[ y' = \frac{dy}{dx} \]

Находим производную: \[ y' = 4x^3 - 10x \]

Шаг 3: Нахождение критических точек

Критические точки находятся там, где \( y' = 0 \) или \( y' \) не существует. Установим производную равной нулю: \[ 4x^3 - 10x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 2x(2x^2 - 5) = 0 \]

Это уравнение равно нулю, когда:

1. \( 2x = 0 \) → \( x = 0 \)
2. \( 2x^2 - 5 = 0 \) → \( x^2 = \frac{5}{2} \) → \( x = \pm\sqrt{\frac{5}{2}} \)

Таким образом, критические точки:

• \( x = 0 \)
• \( x = \sqrt{\frac{5}{2}} \)
• \( x = -\sqrt{\frac{5}{2}} \)

Шаг 4: Анализ первой производной

Для исследования, где функция возрастает и убывает, мы можем проанализировать знаки производной \( y' \):

• Выбираем интервалы на числовой оси: \( (-\infty, -\sqrt{\frac{5}{2}}), (-\sqrt{\frac{5}{2}}, 0), (0, \sqrt{\frac{5}{2}}), (\sqrt{\frac{5}{2}}, +\infty) \).

• Проверяем знак производной в каждом интервале.

• Для \( x < -\sqrt{\frac{5}{2}} \) (например, \( x = -3 \)): \[ y'(-3) = 4(-3)^3 - 10(-3) > 0 \quad (\text{возрастает}) \]

• В интервале \( (-\sqrt{\frac{5}{2}}, 0) \) (например, \( x = -1 \)): \[ y'(-1) = 4(-1)^3 - 10(-1) < 0 \quad (\text{убывает}) \]

• В интервале \( (0, \sqrt{\frac{5}{2}}) \) (например, \( x = 1 \)): \[ y'(1) = 4(1)^3 - 10(1) < 0 \quad (\text{убывает}) \]

• Для \( x > \sqrt{\frac{5}{2}} \) (например, \( x = 3 \)): \[ y'(3) = 4(3)^3 - 10(3) > 0 \quad (\text{возрастает}) \]

Шаг 5: Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках, чтобы понять, где находятся максимумы и минимумы:

1. \( y(0) = 0^4 - 5(0)^2 + 4 = 4 \)
2. \( y(\sqrt{\frac{5}{2}}) \): \[ y\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right) = \left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^4 - 5\left(\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2 + 4 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 4 = \frac{25 - 50 + 16}{4} = -\frac{9}{4} \]
3. \( y(-\sqrt{\frac{5}{2}}) = -\frac{9}{4} \) (симметрия функции).

Шаг 6: Определение типа критических точек

Теперь мы знаем:

• \( y(0) = 4 \) — локальный максимум,
• \( y(\sqrt{\frac{5}{2}}) \) и \( y(-\sqrt{\frac{5}{2}}) = -\frac{9}{4} \) — локальные минимумы.

Шаг 7: Построение графика функции

На основе полученной информации мы можем построить график функции. Вы можете использовать программное обеспечение для построения графиков или нарисовать его вручную, введя критические точки и их значения, а также провести оси. Не забудьте, что функция будет стремиться к \( +\infty \) при \( x \to \pm\infty \).

Шаг 8: Общий вид графика

График функции будет иметь следующие особенности:

• Локальный максимум в точке \( (0, 4) \).
• Два локальных минимума в точках \( \left(\sqrt{\frac{5}{2}}, -\frac{9}{4}\right) \) и \( \left(-\sqrt{\frac{5}{2}}, -\frac{9}{4}\right) \).
• Функция симметрична относительно оси Y (чётная функция).

Таким образом, мы завершили исследование функции \( y = x^4 - 5x^2 + 4 \).