Какова вероятность того, что из 10 последовательных бросаний монеты ровно 4 окончатся орлом?
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу биномиального распределения, так как бросание монеты — это случайный процесс с двумя исходами: орел (успех) и решка (неудача).
Шаг 1: Определение параметров задачи
- Общее число бросаний (n): 10
- Число успешных исходов (k): 4 (ровно 4 орла)
- Вероятность успеха (p): 0.5 (так как монета честная)
- Вероятность неудачи (q): 1 - p = 0.5
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность получения ровно k успехов (в нашем случае, 4 орла) при n испытаниях можно вычислить по формуле:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot (p^k) \cdot (q^{n-k}) \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- \( p \) — вероятность успеха
- \( q \) — вероятность неудачи
Шаг 3: Подставляем значения
- Вычисляем биномиальный коэффициент \( C(10, 4) \):
\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
- Вычисляем \( p^k \):
\[ p^k = (0.5)^4 = 0.0625 \]
- Вычисляем \( q^{n-k} \):
\[ q^{n-k} = (0.5)^{10-4} = (0.5)^6 = 0.015625 \]
Шаг 4: Подставляем все в формулу
Теперь объединяем все части вместе:
\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{6} \]
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0625 \cdot 0.015625 \]
Шаг 5: Вычисляем окончательный ответ
Сначала умножим \( 0.0625 \cdot 0.015625 \):
\[ 0.0625 \cdot 0.015625 = 0.0009765625 \]
Теперь умножаем на 210:
\[ P(X = 4) = 210 \cdot 0.0009765625 \approx 0.205078125 \]
Ответ
Вероятность того, что из 10 последовательных бросаний монеты ровно 4 закончится орлом, примерно равна 0.205 или 20.5%.
