Для решения этой задачи используем биномиальное распределение, так как мы имеем дело с серией независимых испытаний (выстрелов), где вероятность успеха (попадания в цель) постоянна.
Обозначим:
- ( n = 7 ) — общее количество выстрелов,
- ( p = 0.6 ) — вероятность попадания,
- ( k ) — количество попаданий.
Мы хотим сравнить два события:
- Стрелок попал четвре раза из семи (то есть ( k = 4 )),
- Стрелок попал три раза из семи (то есть ( k = 3 )).
Вероятность попадания в цель в биномиальном распределении можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать ( k ) успехов из ( n ) испытаний.
Теперь посчитаем вероятности для обоих событий.
Вероятность попадания 4 раз из 7:
[
P(X = 4) = \binom{7}{4} (0.6)^4 (0.4)^{3}
]
Вычислим биномиальный коэффициент:
[
\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35
]
Теперь подставим значения в формулу:
[
P(X = 4) = 35 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^3
]
Теперь вычислим ( (0.6)^4 ) и ( (0.4)^3 ):
[
(0.6)^4 = 0.1296
]
[
(0.4)^3 = 0.064
]
Подставим в формулу:
[
P(X = 4) = 35 \cdot 0.1296 \cdot 0.064 \approx 35 \cdot 0.0082944 \approx 0.290304
]
Вероятность попадания 3 раз из 7:
Теперь найдем вероятность попадания 3 раз:
[
P(X = 3) = \binom{7}{3} (0.6)^3 (0.4)^{4}
]
Вычислим биномиальный коэффициент:
[
\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35
]
Подставим значения в формулу:
[
P(X = 3) = 35 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^4
]
Теперь вычислим ( (0.6)^3 ) и ( (0.4)^4 ):
[
(0.6)^3 = 0.216
]
[
(0.4)^4 = 0.0256
]
Подставим в формулу:
[
P(X = 3) = 35 \cdot 0.216 \cdot 0.0256 \approx 35 \cdot 0.0055296 \approx 0.193536
]
Сравнение вероятностей
Теперь сравним ( P(X = 4) ) и ( P(X = 3) ):
[
P(X = 4) \approx 0.290304
]
[
P(X = 3) \approx 0.193536
]
Чтобы узнать, в сколько раз событие «стрелок попал четыре раза» более вероятно, чем событие «стрелок попал три раза», делим одну вероятность на другую:
[
\frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} \approx \frac{0.290304}{0.193536} \approx 1.5
]
Ответ
Событие «стрелок попал четыре раза из семи» более вероятно, чем событие «стрелок попал три раза из семи». Оно более вероятно примерно в 1.5 раза.
