стрелок производит выстрелы по цели. вероятность попадания при каждом отдельном выстреле составляет 0.6. Какое событие более вероятно «стрелок попал четвре раза из семи» или…
Стрелок производит выстрелы по цели. вероятность попадания при каждом отдельном выстреле составляет 0.6. Какое событие более вероятно «стрелок попал четвре раза из семи» или "стрелок попал три иаза из семи"? во саолько раз оно более вероятно?
Для решения этой задачи используем биномиальное распределение, так как мы имеем дело с серией независимых испытаний (выстрелов), где вероятность успеха (попадания в цель) постоянна.
Обозначим:
- \( n = 7 \) — общее количество выстрелов,
- \( p = 0.6 \) — вероятность попадания,
- \( k \) — количество попаданий.
Мы хотим сравнить два события:
- Стрелок попал четвре раза из семи (то есть \( k = 4 \)),
- Стрелок попал три раза из семи (то есть \( k = 3 \)).
Вероятность попадания в цель в биномиальном распределении можно вычислить по формуле:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний.
Теперь посчитаем вероятности для обоих событий.
Вероятность попадания 4 раз из 7:
\[ P(X = 4) = \binom{7}{4} (0.6)^4 (0.4)^{3} \]
Вычислим биномиальный коэффициент:
\[ \binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ P(X = 4) = 35 \cdot (0.6)^4 \cdot (0.4)^3 \]
Теперь вычислим \( (0.6)^4 \) и \( (0.4)^3 \):
\[ (0.6)^4 = 0.1296 \] \[ (0.4)^3 = 0.064 \]
Подставим в формулу:
\[ P(X = 4) = 35 \cdot 0.1296 \cdot 0.064 \approx 35 \cdot 0.0082944 \approx 0.290304 \]
Вероятность попадания 3 раз из 7:
Теперь найдем вероятность попадания 3 раз:
\[ P(X = 3) = \binom{7}{3} (0.6)^3 (0.4)^{4} \]
Вычислим биномиальный коэффициент:
\[ \binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \]
Подставим значения в формулу:
\[ P(X = 3) = 35 \cdot (0.6)^3 \cdot (0.4)^4 \]
Теперь вычислим \( (0.6)^3 \) и \( (0.4)^4 \):
\[ (0.6)^3 = 0.216 \] \[ (0.4)^4 = 0.0256 \]
Подставим в формулу:
\[ P(X = 3) = 35 \cdot 0.216 \cdot 0.0256 \approx 35 \cdot 0.0055296 \approx 0.193536 \]
Сравнение вероятностей
Теперь сравним \( P(X = 4) \) и \( P(X = 3) \):
\[ P(X = 4) \approx 0.290304 \] \[ P(X = 3) \approx 0.193536 \]
Чтобы узнать, в сколько раз событие «стрелок попал четыре раза» более вероятно, чем событие «стрелок попал три раза», делим одну вероятность на другую:
\[ \frac{P(X = 4)}{P(X = 3)} \approx \frac{0.290304}{0.193536} \approx 1.5 \]
Ответ
Событие «стрелок попал четыре раза из семи» более вероятно, чем событие «стрелок попал три раза из семи». Оно более вероятно примерно в 1.5 раза.
