В графе 5 вершин со степенями 0, 2, 2, 3, 3. Сколько в нем рёбер? Нарисуй такой граф
Для решения задачи начнем с анализа степеней вершин. Степень вершины — это количество рёбер, инцидентных этой вершине. В нашем случае у нас есть 5 вершин со степенями 0, 2, 2, 3 и 3.
Шаг 1: Найдем общее число рёбер
Согласно теореме о степени графа, сумма степеней всех вершин в графе равна удвоенному количеству рёбер (из-за того, что каждое ребро считается для двух вершин).
Сначала найдем сумму степеней:
\[ 0 + 2 + 2 + 3 + 3 = 10 \]
Теперь мы можем найти количество рёбер \( E \):
\[ \text{Сумма степеней} = 2E \] \[ 10 = 2E \implies E = \frac{10}{2} = 5 \]
Таким образом, в графе должно быть 5 рёбер.
Шаг 2: Конструкция графа
Теперь нам нужно построить такой граф с указанными степенями вершин: 0, 2, 2, 3 и 3.
Вершина со степенью 0 не будет соединена ни с одной другой вершиной. Назовем её \( V_0 \).
Разделим остальные вершины на две группы, чтобы легко задать рёбра:
- Вершина \( V_1 \) со степенью 2
- Вершина \( V_2 \) со степенью 2
- Вершина \( V_3 \) со степенью 3
- Вершина \( V_4 \) со степенью 3
Шаг 3: Соединение вершин
Теперь мы можем соединить вершины так, чтобы удовлетворить условия степеней:
- Соединим \( V_3 \) с \( V_1 \) и \( V_2 \) (это даст \( V_3 \) 2 рёбра, но оставит 1 недостающим).
- Соединим \( V_4 \) с \( V_3 \) и \( V_2 \) (это даст \( V_4 \) 2 рёбра, но оставит 1 недостающим).
- Соединим \( V_3 \) с \( V_4 \).
Результат соединений:
- \( V_3 \) соединён с \( V_1 \), \( V_2 \), \( V_4 \) (степень 3).
- \( V_4 \) соединён с \( V_3 \) и \( V_2 \) (степень 3).
- \( V_1 \) соединён только с \( V_3 \) (степень 2).
- \( V_2 \) соединён с \( V_3 \) и \( V_4 \) (степень 2).
- \( V_0 \) не соединён ни с одной вершиной (степень 0).
Итог
Таким образом, мы получили граф с 5 вершинами и 5 рёбрами, имея нужные степени для каждой вершины. Вот пример его рисунка:
V0
V1
|
V3
/ \
V2---V4
Теперь мы готовы ответить на задачу: в графе с указанными вершинами будет 5 рёбер.
