Давайте решим задачу, шаг за шагом.
Обозначим:
- ( x ) — количество книг, которые печатает вторая типография за час.
- Тогда первая типография печатает ( x + 1 ) книг за час (по условию задачи).
Теперь найдем, сколько времени каждой типографии требуется на печать соответствующего количества книг.
Вторая типография:
Она печатает 110 книг. Время, которое потребуется, равно:
[
t_2 = \frac{110}{x}
]
(где ( t_2 ) — время в часах, затраченное второй типографией).
Первая типография:
Она печатает 99 книг. Время, которое потребуется, равно:
[
t_1 = \frac{99}{x + 1}
]
(где ( t_1 ) — время в часах, затраченное первой типографией).
Согласно условию задачи, первая типография тратит на 2 часа меньше, чем вторая:
[
t_1 = t_2 - 2
]
Подставим наши выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{99}{x + 1} = \frac{110}{x} - 2
]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на ( x(x + 1) ) (чтобы избавиться от знаменателей):
[
99x = 110(x + 1) - 2x(x + 1)
]
Теперь раскроем скобки:
[
99x = 110x + 110 - 2x^2 - 2x
]
[
99x = 108x + 110 - 2x^2
]
Переносим все в одну сторону:
[
2x^2 + 99x - 108x - 110 = 0
]
[
2x^2 - 9x - 110 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-110) = 81 + 880 = 961
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 2} = \frac{9 \pm 31}{4}
]
Решим для ( x ):
- ( x = \frac{9 + 31}{4} = \frac{40}{4} = 10 )
- ( x = \frac{9 - 31}{4} = \frac{-22}{4} ) (отрицательное значение, отбрасываем)
Итак, вторая типография печатает 10 книг в час. А первая типография печатает:
[
x + 1 = 10 + 1 = 11 \text{ книг в час.}
]
Таким образом, первая типография печатает 11 книг в час.
