Женя отрезала 4 одинаковых квадрата от углов квадратного листа, как показано на рисунке. Общая площадь вырезанных частей-16 см², а площадь оставшегося креста-9 см². Каков периметр…
Женя отрезала 4 одинаковых квадрата от углов квадратного листа, как показано на рисунке. Общая площадь вырезанных частей-16 см², а площадь оставшегося креста-9 см². Каков периметр креста в сантиметрах?
Для решения этой задачи начнем с анализа информации, представленной в условии.
Обозначим переменные:
- Пусть сторона первоначального квадратного листа равна \( a \).
- Площадь квадратного листа равна \( a^2 \).
Площадь вырезанных квадратов:
- Площадь одного вырезанного квадрата \( S \) равна \( x^2 \) (где \( x \) — сторона одного квадрата).
- Поскольку вырезано 4 квадрата, общая площадь вырезанных частей равна \( 4x^2 \).
Согласно условию, эта площадь составляет 16 см²: \[ 4x^2 = 16. \] Делим обе стороны на 4: \[ x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \text{ см}. \] Значит, сторона каждого вырезанного квадрата равна 2 см.
Площадь оставшегося креста:
- С площадью оставшегося креста согласно условию мы знаем, что она равна 9 см².
- Площадь оставшегося креста можно выразить как разность площадей полного квадрата и вырезанных квадратов: \[ a^2 - 4x^2 = 9. \] Подставим \( x^2 = 4 \): \[ a^2 - 16 = 9 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad a = 5 \text{ см}. \]
Определяем размеры креста:
- Размеры оставшегося креста можно представить следующим образом. Если мы отнимаем квадраты по 2 см от углов, длины "рук" креста (оставшаяся часть между вырезанными углами) будут равны:
- Длина рука в горизонтальном направлении: \( a - 2x = 5 - 2 \times 2 = 1 \text{ см} \) (по 2 см с каждой стороны).
- Ширина креста: это также 1 см (так как для верха и низа уникальной части — та же длина).
- Размеры оставшегося креста можно представить следующим образом. Если мы отнимаем квадраты по 2 см от углов, длины "рук" креста (оставшаяся часть между вырезанными углами) будут равны:
Периметр креста:
- Теперь, чтобы найти периметр, учтем, что крест состоит из:
- Две вертикальные линии по 5 см (от верхнего и нижнего края), и одна центральная часть по 1 см (ширина).
- Две горизонтальные линии также по 5 см (от левого и правого края), и одна центральная часть по 1 см (ширина).
Таким образом общая формула будет такая: \[ P = 2 \times (1 + 5) + 2 \times (1 + 5), \] где \( P \) — периметр креста.
- Теперь, чтобы найти периметр, учтем, что крест состоит из:
Выражая это: \[ P = 2 \times 6 + 2 \times 6 = 12 + 12 = 24 \text{ см}. \]
Таким образом, периметр креста равен 24 см.
