Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,2. Какова вероятность того, что стрелку потребуется не больше четырёх выстрелов? Ответ округлите до сотых.
Для решения данной задачи мы можем использовать формулу для расчета вероятности успешного события в рамках геометрического распределения. В данном случае мы ищем вероятность того, что стрелок попадет в мишень за не более чем четыре выстрела, при условии что вероятность попадания в каждом выстреле равна 0,2 (или 20%).
### Шаги решения:
1. **Понимание задачи**: Стрелок будет продолжать стрелять до первого попадания. Нам нужно выяснить вероятность того, что он попадет в мишень в один из первых четырех выстрелов.
2. **Определение событий**:
- Вероятность попадания (успешного выстрела) \( p = 0,2 \).
- Вероятность промаха (неуспешного выстрела) \( q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8 \).
3. **Вероятности попадания в разных выстрелах**:
- Вероятность попасть на 1-м выстреле: \( P(X = 1) = p = 0,2 \).
- Вероятность попасть на 2-м выстреле (промах в первом и попадание во втором):
\[
P(X = 2) = q \cdot p = 0,8 \cdot 0,2 = 0,16
\]
- Вероятность попасть на 3-м выстреле (два промаха и попадание в третьем):
\[
P(X = 3) = q^2 \cdot p = 0,8^2 \cdot 0,2 = 0,64 \cdot 0,2 = 0,128
\]
- Вероятность попасть на 4-м выстреле (три промаха и попадание в четвертом):
\[
P(X = 4) = q^3 \cdot p = 0,8^3 \cdot 0,2 = 0,512 \cdot 0,2 = 0,1024
\]
4. **Суммирование вероятностей**: Чтобы найти общую вероятность того, что стрелок попадет в мишень в течение четырех выстрелов, сложим вероятности для каждого из этих событий:
\[
P(X \leq 4) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)
\]
Подставим наши значения:
\[
P(X \leq 4) = 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,1024
\]
Считаем сумму:
\[
P(X \leq 4) = 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,5904
\]
5. **Округление ответа**: Округляем результат до сотых:
\[
P(X \leq 4) \approx 0,59
\]
### Ответ:
Вероятность того, что стрелку понадобится не больше четырех выстрелов, составляет примерно \( 0,59 \).
