Давайте решим задачу. Нам нужно найти косинус угла ( A ) в треугольнике ( ABC ), где угол ( C ) — прямой, ( AC = 9 ), ( BC = 3\sqrt{7} ).
Шаг 1: Понимание тригонометрии в прямом треугольнике
В прямоугольном треугольнике отношение косинуса угла ( A ) определяется как:
[
\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}
]
Здесь угол ( C ) прямой, значит, гипотенуза ( AB ), а прилежащий катет к углу ( A ) — это ( AC ).
Шаг 2: Найдем гипотенузу ( AB ) (по теореме Пифагора)
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике:
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим известные значения:
[
AB^2 = 9^2 + (3\sqrt{7})^2
]
[
AB^2 = 81 + 9 \times 7
]
[
AB^2 = 81 + 63 = 144
]
[
AB = \sqrt{144} = 12
]
Шаг 3: Найдем (\cos A)
Теперь, когда мы знаем, чему равна гипотенуза ( AB ), можем найти (\cos A):
[
\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{12}
]
Упростим дробь:
[
\cos A = \frac{3}{4}
]
Ответ
Косинус угла ( A ) равен (\frac{3}{4}).
