Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди с подробными объяснениями.
Задача 1: Объём цилиндра
Дано:
- Диагональ осевого сечения цилиндра: (d = 13 \text{ см})
- Высота цилиндра: (h = 5 \text{ см})
Шаг 1: Найдем радиус основания цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, где одна сторона — это высота (h), а другая сторона — это радиус (r) основания цилиндра. Диагональ (d) является гипотенузой.
По теореме Пифагора:
[
d^2 = r^2 + h^2
]
Подставим известные значения:
[
13^2 = r^2 + 5^2
]
[
169 = r^2 + 25
]
[
r^2 = 169 - 25 = 144
]
[
r = \sqrt{144} = 12 \text{ см}
]
Шаг 2: Найдем объём цилиндра.
Объём цилиндра рассчитывается по формуле:
[
V = \pi r^2 h
]
Подставим найденные значения:
[
V = \pi \cdot 12^2 \cdot 5
]
[
V = \pi \cdot 144 \cdot 5
]
[
V = 720\pi \text{ см}^3
]
Ответ: Объём цилиндра равен (720\pi \text{ см}^3) (приблизительно (2260.8 \text{ см}^3) при использовании (\pi \approx 3.14)).
Задача 2: Объём прямоугольного параллелепипеда
Дано:
- Длина: (l = 6 \text{ см})
- Ширина: (w = 7 \text{ см})
- Диагональ: (d = 11 \text{ см})
Шаг 1: Найдём высоту (h) параллелепипеда.
По теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда:
[
d^2 = l^2 + w^2 + h^2
]
Подставим известные значения:
[
11^2 = 6^2 + 7^2 + h^2
]
[
121 = 36 + 49 + h^2
]
[
121 = 85 + h^2
]
[
h^2 = 121 - 85 = 36
]
[
h = \sqrt{36} = 6 \text{ см}
]
Шаг 2: Найдем объём параллелепипеда.
Объём рассчитывается по формуле:
[
V = l \cdot w \cdot h
]
Подставим найденные значения:
[
V = 6 \cdot 7 \cdot 6
]
[
V = 252 \text{ см}^3
]
Ответ: Объём прямоугольного параллелепипеда равен (252 \text{ см}^3).
Задача 3: Высота цилиндра
Дано:
- Радиус основания цилиндра: (r = 4 \text{ см})
- Объём параллелепипеда: (V_p = 16 \text{ см}^3)
Шаг 1: Найдем объём цилиндра.
Объём цилиндра можно выразить через его радиус и высоту (h):
[
V = \pi r^2 h
]
Из задачи известно, что параллелепипед описан около цилиндра, что означает, что его объём равен объёму цилиндра:
[
V = V_p = 16 \text{ см}^3
]
Шаг 2: Подставим известные значения для нахождения высоты.
[
\pi \cdot (4^2) \cdot h = 16
]
[
\pi \cdot 16 \cdot h = 16
]
[
h = \frac{16}{16\pi} = \frac{1}{\pi} \text{ см} \approx 0.318 \text{ см}
]
Ответ: Высота цилиндра равна (\frac{1}{\pi} \text{ см}) (приблизительно (0.318 \text{ см})).
