1. Диагональ осевого сечения цилиндра 13 см, высота 5 см. Найдите объём цилиндра. 2. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 6 см, ширина - 7 см, а…

Давайте рассмотрим каждую из задач по очереди с подробными объяснениями.

Задача 1: Объём цилиндра

Дано:

• Диагональ осевого сечения цилиндра: \(d = 13 \text{ см}\)
• Высота цилиндра: \(h = 5 \text{ см}\)

Шаг 1: Найдем радиус основания цилиндра.
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник, где одна сторона — это высота \(h\), а другая сторона — это радиус \(r\) основания цилиндра. Диагональ \(d\) является гипотенузой.

По теореме Пифагора: \[ d^2 = r^2 + h^2 \]

Подставим известные значения: \[ 13^2 = r^2 + 5^2 \] \[ 169 = r^2 + 25 \] \[ r^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ r = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Шаг 2: Найдем объём цилиндра.
Объём цилиндра рассчитывается по формуле: \[ V = \pi r^2 h \] Подставим найденные значения: \[ V = \pi \cdot 12^2 \cdot 5 \] \[ V = \pi \cdot 144 \cdot 5 \] \[ V = 720\pi \text{ см}^3 \]

Ответ: Объём цилиндра равен \(720\pi \text{ см}^3\) (приблизительно \(2260.8 \text{ см}^3\) при использовании \(\pi \approx 3.14\)).

Задача 2: Объём прямоугольного параллелепипеда

Дано:

• Длина: \(l = 6 \text{ см}\)
• Ширина: \(w = 7 \text{ см}\)
• Диагональ: \(d = 11 \text{ см}\)

Шаг 1: Найдём высоту \(h\) параллелепипеда.
По теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда: \[ d^2 = l^2 + w^2 + h^2 \]

Подставим известные значения: \[ 11^2 = 6^2 + 7^2 + h^2 \] \[ 121 = 36 + 49 + h^2 \] \[ 121 = 85 + h^2 \] \[ h^2 = 121 - 85 = 36 \] \[ h = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]

Шаг 2: Найдем объём параллелепипеда.
Объём рассчитывается по формуле: \[ V = l \cdot w \cdot h \] Подставим найденные значения: \[ V = 6 \cdot 7 \cdot 6 \] \[ V = 252 \text{ см}^3 \]

Ответ: Объём прямоугольного параллелепипеда равен \(252 \text{ см}^3\).

Задача 3: Высота цилиндра

Дано:

• Радиус основания цилиндра: \(r = 4 \text{ см}\)
• Объём параллелепипеда: \(V_p = 16 \text{ см}^3\)

Шаг 1: Найдем объём цилиндра.
Объём цилиндра можно выразить через его радиус и высоту \(h\): \[ V = \pi r^2 h \] Из задачи известно, что параллелепипед описан около цилиндра, что означает, что его объём равен объёму цилиндра: \[ V = V_p = 16 \text{ см}^3 \]

Шаг 2: Подставим известные значения для нахождения высоты. \[ \pi \cdot (4^2) \cdot h = 16 \] \[ \pi \cdot 16 \cdot h = 16 \] \[ h = \frac{16}{16\pi} = \frac{1}{\pi} \text{ см} \approx 0.318 \text{ см} \]

Ответ: Высота цилиндра равна \(\frac{1}{\pi} \text{ см}\) (приблизительно \(0.318 \text{ см}\)).