Давайте разберемся с задачей о геометрической прогрессии.
Определение геометрической прогрессии:
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии, обозначаемым ( q ).
Первый член прогрессии обозначается как ( b_1 ).
В данной задаче мы знаем два члена прогрессии:
- ( b_2 = 4 )
- ( b_5 = \frac{4}{27} )
Формула для n-го члена геометрической прогрессии:
[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]
где:
- ( b_n ) — n-й член прогрессии.
- ( b_1 ) — первый член.
- ( q ) — знаменатель прогрессии.
- ( n ) — номер члена.
Составление уравнений:
Для ( b_2 ):
[ b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q ]
Замещаем ( b_2 ) на 4:
[ 4 = b_1 \cdot q \quad \text{(1)} ]
Для ( b_5 ):
[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 ]
Замещаем ( b_5 ) на ( \frac{4}{27} ):
[ \frac{4}{27} = b_1 \cdot q^4 \quad \text{(2)} ]
Теперь у нас есть два уравнения — (1) и (2). Мы можем выразить ( b_1 ) из (1) и подставить в (2).
Выражаем ( b_1 ) из уравнения (1):
[ b_1 = \frac{4}{q} ]
Подставляем в уравнение (2):
[ \frac{4}{27} = \left(\frac{4}{q}\right) \cdot q^4 ]
Сначала упрощаем правую часть:
[ \frac{4}{27} = \frac{4q^4}{q} = 4q^3 ]
Теперь у нас есть:
[ 4q^3 = \frac{4}{27} ]
Делим обе стороны на 4:
[ q^3 = \frac{1}{27} ]
Извлекаем корень кубический:
[ q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} ]
Таким образом, знаменатель ( q ) равен ( \frac{1}{3} ).
Теперь найдем первый член ( b_1 ):
Используем одно из уравнений — (1):
[ 4 = b_1 \cdot \frac{1}{3} ]
Умножаем обе стороны на 3:
[ b_1 = 4 \cdot 3 = 12 ]
Ответ:
- Знаменатель ( q = \frac{1}{3} )
- Первый член ( b_1 = 12 )
Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимы разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
