Найдите знаменатель 𝑞 q геометрической прогрессии ( 𝑏 𝑛 ) (b n ) и её первый член, если 𝑏 2 = 4 b 2 =4 и 𝑏 5 = 4 27 b 5 = 4/27
Давайте разберемся с задачей о геометрической прогрессии.
Определение геометрической прогрессии: Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии, обозначаемым \( q \).
Первый член прогрессии обозначается как \( b_1 \). В данной задаче мы знаем два члена прогрессии:
- \( b_2 = 4 \)
- \( b_5 = \frac{4}{27} \)
Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] где:
- \( b_n \) — n-й член прогрессии.
- \( b_1 \) — первый член.
- \( q \) — знаменатель прогрессии.
- \( n \) — номер члена.
Составление уравнений: Для \( b_2 \): \[ b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q \] Замещаем \( b_2 \) на 4: \[ 4 = b_1 \cdot q \quad \text{(1)} \]
Для \( b_5 \): \[ b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4 \] Замещаем \( b_5 \) на \( \frac{4}{27} \): \[ \frac{4}{27} = b_1 \cdot q^4 \quad \text{(2)} \]
Теперь у нас есть два уравнения — (1) и (2). Мы можем выразить \( b_1 \) из (1) и подставить в (2).
Выражаем \( b_1 \) из уравнения (1): \[ b_1 = \frac{4}{q} \]
Подставляем в уравнение (2): \[ \frac{4}{27} = \left(\frac{4}{q}\right) \cdot q^4 \] Сначала упрощаем правую часть: \[ \frac{4}{27} = \frac{4q^4}{q} = 4q^3 \] Теперь у нас есть: \[ 4q^3 = \frac{4}{27} \]
Делим обе стороны на 4: \[ q^3 = \frac{1}{27} \]
Извлекаем корень кубический: \[ q = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3} \]
Таким образом, знаменатель \( q \) равен \( \frac{1}{3} \).
Теперь найдем первый член \( b_1 \): Используем одно из уравнений — (1): \[ 4 = b_1 \cdot \frac{1}{3} \] Умножаем обе стороны на 3: \[ b_1 = 4 \cdot 3 = 12 \]
Ответ:
- Знаменатель \( q = \frac{1}{3} \)
- Первый член \( b_1 = 12 \)
Если у вас есть дополнительные вопросы или необходимы разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!
