Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 36. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Чтобы решить задачу о взаимосвязи между шаром и цилиндром, необходимо начать с определения необходимых формул и свойств этих фигур.
Шаг 1: Используем формулу площади поверхности шара
Площадь поверхности шара \( S \) определяется по формуле:
\[ S = 4\pi r^2 \]
где \( r \) – радиус шара.
Шаг 2: Найдем радиус шара
Исходя из условия задачи, площадь поверхности шара равна 36:
\[ 4\pi r^2 = 36 \]
Чтобы найти \( r^2 \), разделим обе стороны уравнения на \( 4\pi \):
\[ r^2 = \frac{36}{4\pi} = \frac{9}{\pi} \]
Теперь найдем радиус шара \( r \):
\[ r = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \]
Шаг 3: Находим радиус и высоту цилиндра
Шар вписан в цилиндр, значит:
- Радиус основания цилиндра \( R \) равен радиусу шара \( r \).
- Высота цилиндра \( H \) равна диаметру шара, который составляет \( 2r \).
Таким образом, можем выразить радиус и высоту цилиндра:
\[ R = r = \frac{3}{\sqrt{\pi}} \] \[ H = 2r = 2 \times \frac{3}{\sqrt{\pi}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}} \]
Шаг 4: Рассчитаем площадь полной поверхности цилиндра
Площадь полной поверхности цилиндра \( S_{cyl} \) рассчитывается по формуле:
\[ S_{cyl} = 2\pi R H + 2\pi R^2 \]
где \( 2\pi R H \) – площадь боковой поверхности, а \( 2\pi R^2 \) – площадь двух оснований.
Подставим значения:
- Найдем \( 2\pi R H \):
\[ 2\pi R H = 2\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right) \left(\frac{6}{\sqrt{\pi}}\right) = 2\pi \cdot \frac{18}{\pi} = 36 \]
- Найдем \( 2\pi R^2 \):
\[ R^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{9}{\pi} \] \[ 2\pi R^2 = 2\pi \cdot \frac{9}{\pi} = 18 \]
Шаг 5: Сложим обе части для нахождения площади полной поверхности цилиндра
Теперь объединим два найденных значения:
\[ S_{cyl} = 36 + 18 = 54 \]
Ответ
Площадь полной поверхности цилиндра равна 54.
