Чтобы решить задачу о взаимосвязи между шаром и цилиндром, необходимо начать с определения необходимых формул и свойств этих фигур.
Шаг 1: Используем формулу площади поверхности шара
Площадь поверхности шара ( S ) определяется по формуле:
[
S = 4\pi r^2
]
где ( r ) – радиус шара.
Шаг 2: Найдем радиус шара
Исходя из условия задачи, площадь поверхности шара равна 36:
[
4\pi r^2 = 36
]
Чтобы найти ( r^2 ), разделим обе стороны уравнения на ( 4\pi ):
[
r^2 = \frac{36}{4\pi} = \frac{9}{\pi}
]
Теперь найдем радиус шара ( r ):
[
r = \sqrt{\frac{9}{\pi}} = \frac{3}{\sqrt{\pi}}
]
Шаг 3: Находим радиус и высоту цилиндра
Шар вписан в цилиндр, значит:
- Радиус основания цилиндра ( R ) равен радиусу шара ( r ).
- Высота цилиндра ( H ) равна диаметру шара, который составляет ( 2r ).
Таким образом, можем выразить радиус и высоту цилиндра:
[
R = r = \frac{3}{\sqrt{\pi}}
]
[
H = 2r = 2 \times \frac{3}{\sqrt{\pi}} = \frac{6}{\sqrt{\pi}}
]
Шаг 4: Рассчитаем площадь полной поверхности цилиндра
Площадь полной поверхности цилиндра ( S_{cyl} ) рассчитывается по формуле:
[
S_{cyl} = 2\pi R H + 2\pi R^2
]
где ( 2\pi R H ) – площадь боковой поверхности, а ( 2\pi R^2 ) – площадь двух оснований.
Подставим значения:
- Найдем ( 2\pi R H ):
[
2\pi R H = 2\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right) \left(\frac{6}{\sqrt{\pi}}\right) = 2\pi \cdot \frac{18}{\pi} = 36
]
- Найдем ( 2\pi R^2 ):
[
R^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)^2 = \frac{9}{\pi}
]
[
2\pi R^2 = 2\pi \cdot \frac{9}{\pi} = 18
]
Шаг 5: Сложим обе части для нахождения площади полной поверхности цилиндра
Теперь объединим два найденных значения:
[
S_{cyl} = 36 + 18 = 54
]
Ответ
Площадь полной поверхности цилиндра равна 54.
