В треугольнике одна из сторон равна 5 * корень 2, другая сторона равна 7 , а угол между ними равен 4 5 ∘ . Найди площадь треугольника.

Для нахождения площади треугольника, когда известны две стороны и угол между ними, можно использовать формулу:

\[ S = \frac{1}{2}ab \sin(C) \]

где:

• \( S \) — площадь треугольника,
• \( a \) и \( b \) — длины сторон,
• \( C \) — угол между этими сторонами в радианах или градусах.

Дано:

• \( a = 5\sqrt{2} \)
• \( b = 7 \)
• \( C = 45^\circ \)

Шаг 1: Перевод угла в радианы (если необходимо)

Поскольку мы можем использовать синус угла в градусах, переводить угол в радианы не обязательно. Мы можем использовать значение синуса напрямую.

Шаг 2: Найти синус угла

Для угла \( 45^\circ \):

\[ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 3: Подставить значения в формулу

Теперь можем подставить известные значения в формулу для площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \sin(45^\circ) \]

Шаг 4: Упростить выражение

Подставим значение \( \sin(45^\circ) \):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Сначала умножим \( 5\sqrt{2} \) на \( 7 \):

\[ 5\sqrt{2} \cdot 7 = 35\sqrt{2} \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 35\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Упростим выражение:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot \frac{2}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \]

Ответ

Площадь треугольника равна \( 17.5 \) квадратных единиц.