Для решения задачи начнем с того, что нам дан синус одного из острых углов прямоугольного треугольника. Обозначим острые углы треугольника как ( A ) и ( B ), а прямой угол как ( C ). Дано, что:
[
\sin(A) = \frac{\sqrt{3}}{3}
]
Сначала найдем косинус угла ( A ). Используем соотношение между синусом и косинусом:
[
\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1
]
Подставим значение синуса:
[
\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \cos^2(A) = 1
]
Упсертем этот квадрат:
[
\frac{3}{9} + \cos^2(A) = 1
]
Сократим:
[
\frac{1}{3} + \cos^2(A) = 1
]
Вычтем (\frac{1}{3}) из обеих сторон уравнения:
[
\cos^2(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
]
Теперь найдем значение косинуса:
[
\cos(A) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}
]
Теперь у нас есть синус и косинус угла ( A ):
[
\sin(A) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \cos(A) = \frac{\sqrt{6}}{3}
]
Теперь можем найти синус и косинус второго острого угла ( B ). Используем следующие соотношения:
[
\sin(B) = \cos(A), \quad \cos(B) = \sin(A)
]
Таким образом, получаем:
[
\sin(B) = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad \cos(B) = \frac{\sqrt{3}}{3}
]
Теперь найдем тангенс и котангенс угла ( B ):
[
\tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}
]
[
\cot(B) = \frac{1}{\tan(B)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Резюмируем результаты:
- ( \sin(B) = \frac{\sqrt{6}}{3} )
- ( \cos(B) = \frac{\sqrt{3}}{3} )
- ( \tan(B) = \sqrt{2} )
- ( \cot(B) = \frac{\sqrt{2}}{2} )
Таким образом, синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла ( B ) прямоугольного треугольника равны:
[
\sin(B) = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad \cos(B) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \tan(B) = \sqrt{2}, \quad \cot(B) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
