Синус острого угла прямоугольного треугольника равен корень из трех деленное на три. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла этого треугольника

Для решения задачи начнем с того, что нам дан синус одного из острых углов прямоугольного треугольника. Обозначим острые углы треугольника как \( A \) и \( B \), а прямой угол как \( C \). Дано, что:

\[ \sin(A) = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Сначала найдем косинус угла \( A \). Используем соотношение между синусом и косинусом:

\[ \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \]

Подставим значение синуса:

\[ \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 + \cos^2(A) = 1 \]

Упсертем этот квадрат:

\[ \frac{3}{9} + \cos^2(A) = 1 \]

Сократим:

\[ \frac{1}{3} + \cos^2(A) = 1 \]

Вычтем \(\frac{1}{3}\) из обеих сторон уравнения:

\[ \cos^2(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]

Теперь найдем значение косинуса:

\[ \cos(A) = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Теперь у нас есть синус и косинус угла \( A \):

\[ \sin(A) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \cos(A) = \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Теперь можем найти синус и косинус второго острого угла \( B \). Используем следующие соотношения:

\[ \sin(B) = \cos(A), \quad \cos(B) = \sin(A) \]

Таким образом, получаем:

\[ \sin(B) = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad \cos(B) = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Теперь найдем тангенс и котангенс угла \( B \):

\[ \tan(B) = \frac{\sin(B)}{\cos(B)} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \]

\[ \cot(B) = \frac{1}{\tan(B)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Резюмируем результаты:

1. \( \sin(B) = \frac{\sqrt{6}}{3} \)
2. \( \cos(B) = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
3. \( \tan(B) = \sqrt{2} \)
4. \( \cot(B) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Таким образом, синус, косинус, тангенс и котангенс второго острого угла \( B \) прямоугольного треугольника равны:

\[ \sin(B) = \frac{\sqrt{6}}{3}, \quad \cos(B) = \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \tan(B) = \sqrt{2}, \quad \cot(B) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]