Перед Новым Годом совет директоров компании выделил на премирование сотрудников отдела 200 тыс. р. Эта сумма будет добавлена к декабрьской зарплате. Начальник отдела хочет распределить премии так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре оказалась наибольшей возможной (это важный показатель работы начальника). Найдите эту наибольшую возможную медианную выплату. Ответ дайте в тысячах рублей.
Чтобы решить задачу о распределении премий так, чтобы медиана общих выплат сотрудникам в декабре была наибольшей возможной, давайте разберёмся с понятием медианы и подойдем к задаче пошагово.
### Понимание задачи
1. **Определение медианы**:
- Медиана — это значение, которое делит множество чисел на две равные части, когда значения отсортированы по возрастанию. Если количество элементов нечётное, медиана — это средний элемент. Если количество чётное, медиана — это среднее значение двух средних элементов.
### Условия задачи
- У нас есть **200 000 рублей**, которые нужно распределить среди сотрудников так, чтобы максимизировать медиану.
### Распределение премий
1. Предположим, что у нас есть **n** сотрудников. Каждому из них изначально выплачивается зарплата, которая обозначает базовую часть. К этой базовой зарплате мы добавим премии, чтобы получить общую выплату.
2. Для максимизации медианы необходимо сосредоточиться на том, как распределить эту сумму между сотрудниками.
3. Чтобы медиана была максимальной, нужно сделать так, чтобы как можно больше сотрудников получили одинаковую и достаточно большую премию, а остальные — меньше или вообще ничего.
### Решение
1. Если предположить, что премии будут распределяться так:
- Можем рассмотреть случай, когда **k** сотрудников получают равные выплаты по **x** рублей, а остальные (n - k) получают 0. Тогда, в общем, у нас будет:
\[
k \cdot x = 200000
\]
- Следовательно,
\[
x = \frac{200000}{k}
\]
2. Медиана в этом случае будет равна **x**, если **k** - нечётное, или среднему значению двух средних элементов, если **k** - чётное.
3. Чтобы получить наибольшую медиану, выбираем максимальное значение **x**, при этом необходимо, чтобы **k** было как можно больше. Но также следует помнить, что при увеличении **k**, премия на сотрудника становится меньше.
### Анализ
- Если мы сделаем так, что **k** будет нечетным, например, **k = 1**, тогда:
\[
x = 200000
\]
будет являться медианой, но это неправильно с точки зрения распределения (только один человек получит премию).
- Более реалистичным является повышенное количество сотрудников с равными премиями, но меньшего значения.
### Основной вывод
Для максимизации медианы, если премии распределяются равномерно:
- Пусть допустим, **n = 10** (10 сотрудников).
- Тогда выбираем **k = n/2 + 1 = 6** для нечётного количества составляющих, чтобы уменьшить количество работников с нулевым значением.
- В этом случае:
\[
x = \frac{200000}{6} \approx 33333.33
\]
Таким образом, максимальная медиана, которую можно получить, будет:
- Округляя до тысяч:
\[
\text{Ответ} = 33
\]
### Ответ
Наибольшая возможная медианная выплата в тысячах рублей составит **33**.
