найти производную функции а) tg(2x+7) б)(3x²+5)•(lnx+x³) в) x⁵/cosx

Для того чтобы понять, как находить производные указанных функций, мы будем использовать основные правила дифференцирования. Рассмотрим каждый пункт отдельно.

а) Найти производную функции \( y = \tan(2x + 7) \)

Чтобы найти производную функции, воспользуемся правилом производной составной функции, также известным как правило дифференцирования «внешней» функции и «внутренней» функции.

1. Первая производная тангенса: \[ \frac{d}{dx} (\tan(u)) = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \] где \( u = 2x + 7 \).

2. Найдем производную внутренней функции \( u \): \[ \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x + 7) = 2. \]

3. Теперь подставим все в формулу для производной: \[ \frac{dy}{dx} = \sec^2(2x + 7) \cdot 2 = 2\sec^2(2x + 7). \]

Ответ:
\[ \frac{dy}{dx} = 2\sec^2(2x + 7). \]

б) Найти производную функции \( y = (3x^2 + 5) \cdot ( \ln x + x^3 ) \)

Для произведения двух функций используем правило произведения:

\[ \frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv', \] где \( u = 3x^2 + 5 \) и \( v = \ln x + x^3 \).

1. Найдем производную \( u \): \[ u' = \frac{d}{dx}(3x^2 + 5) = 6x. \]

2. Теперь найдем производную \( v \): \[ v' = \frac{d}{dx}(\ln x + x^3) = \frac{1}{x} + 3x^2. \]

3. Теперь подставим в формулу для производной (правило произведения): \[ \frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (6x)(\ln x + x^3) + (3x^2 + 5)\left(\frac{1}{x} + 3x^2\right). \]

4. Упростим полученное выражение: \[ = 6x(\ln x + x^3) + \left(3x^2 + 5\right)\left(\frac{1}{x}\right) + \left(3x^2 + 5\right)(3x^2). \]

Теперь сумму нужно упростить, что можно сделать, но это не требуется, если задача только в нахождении производной.

Ответ:
\[ \frac{dy}{dx} = 6x(\ln x + x^3) + \left(3x^2 + 5\right)\left(\frac{1}{x} + 3x^2\right). \]

в) Найти производную функции \( y = \frac{x^5}{\cos x} \)

Здесь будем использовать правило деления:

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}, \] где \( u = x^5 \) и \( v = \cos x \).

1. Найдем производную \( u \): \[ u' = \frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4. \]

2. Найдем производную \( v \): \[ v' = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x. \]

3. Подставим в формулу для производной (правило деления): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{5x^4 \cos x - x^5(-\sin x)}{\cos^2 x}. \]

4. Упростим полученное выражение: \[ = \frac{5x^4 \cos x + x^5 \sin x}{\cos^2 x}. \]

Ответ:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{5x^4 \cos x + x^5 \sin x}{\cos^2 x}. \]

Это решение включает все этапы нахождения производных для каждой из трёх функций. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно объяснить что-то подробнее, дайте знать!