Давайте решим каждую задачу по порядку.
Задача 1
Условие: Один из острых углов прямоугольного треугольника равен ( 54^\circ ). Найдите другой острый угол.
Решение:
В прямоугольном треугольнике сумма всех углов составляет ( 180^\circ ). Один угол равен ( 90^\circ ) (прямой угол), значит сумма двух острых углов равна ( 90^\circ ).
Обозначим второй острый угол как ( x ).
[
54^\circ + x = 90^\circ
]
[
x = 90^\circ - 54^\circ = 36^\circ
]
Ответ: Другой острый угол равен ( 36^\circ ).
Задача 2
Условие: В прямоугольном треугольнике СЕО гипотенуза СО равна 42 см, угол ( LO = 60^\circ ). Найдите катет ( EO ).
Решение:
Сначала обозначим угол ( E ) между гипотенузой ( CO ) и катетом ( EO ). В данном случае ( EO ) и ( LO ) делают треугольник прямоугольным.
Используем тригонометрические функции. Катет ( EO ) (противолежащий угол) можно найти с помощью синуса:
[
\sin(60^\circ) = \frac{EO}{CO}
]
[
EO = CO \cdot \sin(60^\circ)
]
Синус угла ( 60^\circ ) равен ( \frac{\sqrt{3}}{2} ), подставляем значения:
[
EO = 42 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 21\sqrt{3} \approx 36.37 \text{ см}
]
Ответ: ( EO \approx 36.37 ) см.
Задача 3
Условие: На рисунке LABO = LDCO = 90°. AO = OD, если AB = 7 см. Найдите ( CCD ).
Решение:
Поскольку ( AO = OD ), это означает, что ( O ) является серединой отрезка ( AB ).
Следовательно, ( AO = \frac{AB}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 ) см.
Поскольку ( LABO ) и ( LDCO ) – прямые углы, можно сказать, что ( CCD ) – это длина катета ( AO ).
Ответ: ( CCD = 3.5 ) см.
Задача 4
Условие: В прямоугольном треугольнике DBC (LC = 90°) провели высоту CK. Найти отрезок BK, если DB = 20 см, BC = 10 см.
Решение:
Используем свойства прямоугольного треугольника. Площадь треугольника можно вычислить разными способами. Сначала найдем площадь, используя основание и высоту:
Площадь ( S = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10 = 100 ) см².
Теперь через высоту:
Площадь также равна ( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CK ).
Таким образом,
[
100 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CK \implies CK = 20 \text{ см}.
]
Теперь используем теорему о высоте в прямоугольном треугольнике:
[
BK = \frac{BC^2}{DB} = \frac{10^2}{20} = 5 \text{ см}.
]
Ответ: ( BK = 5 ) см.
Задача 5
Условие: В прямоугольном треугольнике ( D E S ) угол ( E ) равен ( 90^\circ ), угол ( D ) равен ( 30^\circ ). Найдите гипотенузу ( DS ), если катет ( DE ) равен 6,5 см.
Решение:
В прямоугольном треугольнике гипотенуза ( DS ) связана с противолежащим катетом ( DE ) через функцию синуса:
[
\sin(30^\circ) = \frac{DE}{DS} \implies DS = \frac{DE}{\sin(30^\circ)}
]
Зная, что ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ):
[
DS = \frac{6.5}{\frac{1}{2}} = 6.5 \cdot 2 = 13 \text{ см}
]
Ответ: Гипотенуза ( DS = 13 ) см.
Задача 6
Условие: Угол при вершине равнобедренного треугольника равен ( 120^\circ ). Высота, проведённая к боковой стороне, равна 13 см. Найдите основание этого треугольника.
Решение:
Пусть основание треугольника равно ( x ). Так как треугольник равнобедренный, высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника с углом ( 60^\circ ) у основания.
Пусть бока равнобедренного треугольника равны ( a ). В каждом прямоугольном треугольнике по теореме тангенса:
[
\tan(60^\circ) = \frac{h}{\frac{x}{2}}.
]
Так как ( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} ):
[
\sqrt{3} = \frac{13}{\frac{x}{2}} \implies x = \frac{26}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3} = \frac{26\sqrt{3}}{3} \approx 15.09 \text{ см}.
]
Ответ: Основание треугольника приблизительно равняется ( 15.09 ) см.
Задача 7
Условие: Прямоугольные треугольники ( A B C ) и ( A B D ) имеют общую гипотенузу ( A B ). Известно, что ( AC = BD ). Докажите, что ( A D || B C ).
Решение:
Поскольку ( AC ) и ( BD ) равны и оба треугольника ( A B C ) и ( A B D ) являются прямоугольными, можно заключить, что их углы при вершине ( A ) равны. Таким образом, по конгруэнтности треугольников ( A B C ) и ( A B D ) с равными катетами и углом при ( A ):
[
\angle ACB = \angle ADB \text{ (из прямоугольных треугольников)}.
]
Поскольку два угла при пересечении прямых ( A D ) и ( B C ) равны (внешние углы), это означает, что прямые ( A D ) и ( B C ) параллельны согласно теорему о параллельных прямых.
Ответ: Доказано, ( AD || BC ).
Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
