Исследовать на выпуклость кривую y=x³-9x²-24+12

Чтобы исследовать на выпуклость кривую \( y = x^3 - 9x^2 - 24x + 12 \), нам нужно найти её вторую производную и проанализировать, где она положительна, а где отрицательна. ### Шаг 1: Находим первую производную Сначала найдем первую производную функции \( y \): \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 9x^2 - 24x + 12) \] Используем правила дифференцирования: \[ y' = 3x^2 - 18x - 24 \] ### Шаг 2: Находим вторую производную Теперь найдем вторую производную \( y' \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 18x - 24) \] С again перед применением производной, получаем: \[ y'' = 6x - 18 \] ### Шаг 3: Определяем критические точки второй производной Чтобы найти, где функция выпуклая, необходимо определить, где вторая производная положительна или отрицательна. Для этого найдем значение \( x \), при котором \( y'' = 0 \): \[ 6x - 18 = 0 \] \[ 6x = 18 \] \[ x = 3 \] ### Шаг 4: Исследуем знак второй производной Теперь исследуем знак второй производной в интервалах, определённых критической точкой \( x = 3 \): 1. **Для \( x < 3 \)** (например, \( x = 0 \)): \[ y''(0) = 6(0) - 18 = -18 \quad (\text{отрицательное значение, функция вогнута}) \] 2. **Для \( x > 3 \)** (например, \( x = 4 \)): \[ y''(4) = 6(4) - 18 = 24 - 18 = 6 \quad (\text{положительное значение, функция выпукла}) \] ### Шаг 5: Выводы - На интервале \( (-\infty; 3) \) функция **вогнута** (вторая производная отрицательна). - На интервале \( (3; +\infty) \) функция **выпукла** (вторая производная положительна). ### Результат Кривая \( y = x^3 - 9x^2 - 24x + 12 \): - Вогнута на интервале \( (-\infty; 3) \). - Выпукла на интервале \( (3; +\infty) \). Это означает, что в точке \( x = 3 \) возможно находится точка перегиба, где функция меняет свою выпуклость.