Исследовать на выпуклость кривую y=x³-9x²-24+12
Чтобы исследовать на выпуклость кривую \( y = x^3 - 9x^2 - 24x + 12 \), нам нужно найти её вторую производную и проанализировать, где она положительна, а где отрицательна.
Шаг 1: Находим первую производную
Сначала найдем первую производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 9x^2 - 24x + 12) \]
Используем правила дифференцирования:
\[ y' = 3x^2 - 18x - 24 \]
Шаг 2: Находим вторую производную
Теперь найдем вторую производную \( y' \):
\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 18x - 24) \]
С again перед применением производной, получаем:
\[ y'' = 6x - 18 \]
Шаг 3: Определяем критические точки второй производной
Чтобы найти, где функция выпуклая, необходимо определить, где вторая производная положительна или отрицательна. Для этого найдем значение \( x \), при котором \( y'' = 0 \):
\[ 6x - 18 = 0 \] \[ 6x = 18 \] \[ x = 3 \]
Шаг 4: Исследуем знак второй производной
Теперь исследуем знак второй производной в интервалах, определённых критической точкой \( x = 3 \):
Для \( x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y''(0) = 6(0) - 18 = -18 \quad (\text{отрицательное значение, функция вогнута}) \]
Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \[ y''(4) = 6(4) - 18 = 24 - 18 = 6 \quad (\text{положительное значение, функция выпукла}) \]
Шаг 5: Выводы
- На интервале \( (-\infty; 3) \) функция вогнута (вторая производная отрицательна).
- На интервале \( (3; +\infty) \) функция выпукла (вторая производная положительна).
Результат
Кривая \( y = x^3 - 9x^2 - 24x + 12 \):
- Вогнута на интервале \( (-\infty; 3) \).
- Выпукла на интервале \( (3; +\infty) \).
Это означает, что в точке \( x = 3 \) возможно находится точка перегиба, где функция меняет свою выпуклость.
