Вырази сторону, периметр и площадь правильного треугольника : а) через радиус вписанной окружности ; б) через радиус описанной окружности

Чтобы выразить сторону, периметр и площадь правильного треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей, давайте разберем все шаги подробно. ### Определения: 1. **Правильный треугольник** — это треугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны (по 60°). 2. **Радиус вписанной окружности \( r \)** — это радиус окружности, вписанной в треугольник. 3. **Радиус описанной окружности \( R \)** — это радиус окружности, которая проходит через все вершины треугольника. ### а) Черед радиус вписанной окружности Обозначим сторону правильного треугольника как \( a \). 1. **Формула радиуса вписанной окружности:** \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр. Для правильного треугольника: \[ p = \frac{3a}{2} \] 2. **Площадь правильного треугольника:** \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] 3. Подставив \( S \) и \( p \) в формулу радиуса: \[ r = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] 4. Теперь выразим сторону \( a \) через \( r \): \[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r \] 5. **Периметр** \( P \) можно выразить через \( a \): \[ P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}r = 6\sqrt{3}r \] 6. **Площадь** \( S \) через \( r \): \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3}r)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3r^2 \sqrt{3}}{4} = 3r^2\sqrt{3} \] ### Ответ (по радиусу вписанной окружности): - Сторона \( a = 2\sqrt{3}r \) - Периметр \( P = 6\sqrt{3}r \) - Площадь \( S = 3r^2\sqrt{3} \) --- ### б) Черед радиус описанной окружности 1. **Формула радиуса описанной окружности:** \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] 2. Выразим сторону \( a \) через \( R \): \[ a = R\sqrt{3} \] 3. **Периметр** \( P \): \[ P = 3a = 3R\sqrt{3} \] 4. **Площадь** \( S \): \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \] ### Ответ (по радиусу описанной окружности): - Сторона \( a = R\sqrt{3} \) - Периметр \( P = 3R\sqrt{3} \) - Площадь \( S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \) Таким образом, мы выразили сторону, периметр и площадь правильного треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.