вырази сторону, периметр и площадь правильного треугольника : а) через радиус вписанной окружности ; б) через радиус описанной окружности

Чтобы выразить сторону, периметр и площадь правильного треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей, давайте разберем все шаги подробно.

Определения:

1. Правильный треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, и все углы равны (по 60°).
2. Радиус вписанной окружности \( r \) — это радиус окружности, вписанной в треугольник.
3. Радиус описанной окружности \( R \) — это радиус окружности, которая проходит через все вершины треугольника.

а) Черед радиус вписанной окружности

Обозначим сторону правильного треугольника как \( a \).

1. Формула радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{p} \] где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр. Для правильного треугольника: \[ p = \frac{3a}{2} \]

2. Площадь правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

3. Подставив \( S \) и \( p \) в формулу радиуса: \[ r = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{3a}{2}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{3a} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

4. Теперь выразим сторону \( a \) через \( r \): \[ a = \frac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r \]

5. Периметр \( P \) можно выразить через \( a \): \[ P = 3a = 3 \cdot 2\sqrt{3}r = 6\sqrt{3}r \]

6. Площадь \( S \) через \( r \): \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(2\sqrt{3}r)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 3r^2 \sqrt{3}}{4} = 3r^2\sqrt{3} \]

Ответ (по радиусу вписанной окружности):

• Сторона \( a = 2\sqrt{3}r \)
• Периметр \( P = 6\sqrt{3}r \)
• Площадь \( S = 3r^2\sqrt{3} \)

б) Черед радиус описанной окружности

1. Формула радиуса описанной окружности: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

2. Выразим сторону \( a \) через \( R \): \[ a = R\sqrt{3} \]

3. Периметр \( P \): \[ P = 3a = 3R\sqrt{3} \]

4. Площадь \( S \): \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2 \sqrt{3}}{4} \]

Ответ (по радиусу описанной окружности):

• Сторона \( a = R\sqrt{3} \)
• Периметр \( P = 3R\sqrt{3} \)
• Площадь \( S = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4} \)

Таким образом, мы выразили сторону, периметр и площадь правильного треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.