Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Задача: Маша отметила несколько точек на плоскости так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Она соединила каждые две точки отрезком. Необходимо выяснить, может ли количество отрезков, которые она нарисовала, быть равно 6.
Шаг 1: Понимание числа отрезков
Когда мы соединяем ( n ) точек на плоскости, количество отрезков, которые можно провести между ними, можно вычислить по формуле:
[
C(n, 2) = \frac{n(n-1)}{2}
]
где ( C(n, 2) ) - это число сочетаний ( n ) по 2, то есть число способов выбрать 2 точки из ( n ).
Шаг 2: Установка уравнения
Нам нужно найти такое ( n ), при котором количество отрезков равно 6:
[
\frac{n(n-1)}{2} = 6
]
Шаг 3: Упрощение уравнения
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
n(n-1) = 12
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
n^2 - n - 12 = 0
]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -1, c = -12 ).
Подставим значения:
[
n = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2}
]
Это дает два возможных значения для ( n ):
[
n_1 = \frac{8}{2} = 4
]
[
n_2 = \frac{-6}{2} = -3
]
Поскольку число точек ( n ) должно быть положительным, мы принимаем только ( n = 4 ).
Шаг 5: Проверка решения
Теперь подставим найденное значение ( n = 4 ) обратно в формулу для проверки:
[
C(4, 2) = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6
]
Ответ
Мы нашли, что Маша могла нарисовать 6 отрезков, если она отметила 4 точки. Таким образом, да, количество отрезков, которые она нарисовала, могло быть равно 6.
