Решить
Давайте разберем решение каждой из представленных систем линейных уравнений:
a)
\[ \begin{cases} 40x + 3y = 10 \\ 20x - 17y = 5 \end{cases} \]
Упростим уравнения:
- Первое уравнение: \(40x + 3y = 10\).
- Второе уравнение: \(20x - 17y = 5\).
Методом подстановки или сложения.
Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \(x\) были одинаковыми: \[ 40x - 34y = 10 \]
Теперь вычтем из первого уравнения: \[ (40x + 3y) - (40x - 34y) = 10 - 10 \] \[ 37y = 0 \] \[ y = 0 \]
Теперь подставим \(y = 0\) в первое уравнение: \[ 40x + 3(0) = 10 \] \[ 40x = 10 \] \[ x = \frac{1}{4} \]
Ответ: \(x = \frac{1}{4}, y = 0\)
б)
\[ \begin{cases} 5x - 2y = 1 \\ 15x - 3y = 3 \end{cases} \]
- Упростим уравнения:
Обратим внимание, что второе уравнение является результатом умножения первого на 3:
- Второе уравнение: \(15x - 3y = 3\)
Это означает, что система имеет множество решений.
Упростим и выразим \(y\) через \(x\) из первого уравнения: \[ 5x - 2y = 1 \] \[ -2y = 1 - 5x \] \[ y = \frac{5x - 1}{2} \]
Ответ: Решение имеет вид \((x, y)=\left(x, \frac{5x - 1}{2}\right)\)
в)
\[ \begin{cases} 33x + 42y = 10 \\ 9x + 14y = 4 \end{cases} \]
Попробуем упростить второе уравнение, умножив на 3: \[ 27x + 42y = 12 \]
Теперь вычтем из первого уравнения: \[ (33x + 42y) - (27x + 42y) = 10 - 12 \] \[ 6x = -2 \] \[ x = -\frac{1}{3} \]
Подставим \(x\) в одно из уравнений, например, во второе: \[ 9(-\frac{1}{3}) + 14y = 4 \] \[ -3 + 14y = 4 \] \[ 14y = 7 \] \[ y = \frac{1}{2} \]
Ответ: \(x = -\frac{1}{3}, y = \frac{1}{2}\)
г)
\[ \begin{cases} 13x - 12y = 14 \\ 11x - 4 = 18y \end{cases} \]
Выразим \(x\) через \(y\) из второго уравнения: \[ 11x - 4 = 18y \] \[ 11x = 18y + 4 \] \[ x = \frac{18y + 4}{11} \]
Подставим в первое уравнение: \[ 13\left(\frac{18y + 4}{11}\right) - 12y = 14 \] \[ \frac{234y + 52}{11} - 12y = 14 \] \[ 234y + 52 - 132y = 154 \] \[ 102y = 102 \] \[ y = 1 \]
Теперь подставляем \(y = 1\) в уравнение для \(x\): \[ x = \frac{18(1) + 4}{11} \] \[ x = \frac{22}{11} \] \[ x = 2 \]
Ответ: \(x = 2, y = 1\)
д)
\[ \begin{cases} 10x - 9y = 8 \\ 21y + 15x = 0.5 \end{cases} \]
- Упростим второе уравнение: \(15x + 21y = 0.5\).
Теперь упростим, найдя общий множитель: Обратите внимание, что можно решить систему с помощью метода подстановки.
Умножим первое уравнение на 1.5, сделаем коэффициенты при \(x\) одинаковыми: \[ 15x - 13.5y = 12 \]
Теперь метод вычитания: \[ (15x + 21y) - (15x - 13.5y) = 0.5 - 12 \] \[ 34.5y = -11.5 \] \[ y = -\frac{1}{3} \]
Теперь подставим \(y\) в первое уравнение: \[ 10x - 9(-\frac{1}{3}) = 8 \] \[ 10x + 3 = 8 \] \[ 10x = 5 \] \[ x = \frac{1}{2} \]
Ответ: \(x = \frac{1}{2}, y = -\frac{1}{3}\)
е)
\[ \begin{cases} 9y + 8z = -2 \\ 5z = -4y - 11 \end{cases} \]
Упростим второе уравнение и выразим \(z\) через \(y\): \[ 5z = -4y - 11 \] \[ z = -\frac{4y + 11}{5} \]
Подставим в первое уравнение: \[ 9y + 8\left(-\frac{4y + 11}{5}\right) = -2 \] \[ 9y - \frac{32y + 88}{5} = -2\] \[ 45y - 32y = -10 + 88 \] \[ 13y = 78 \] \[ y = 6 \]
Теперь подставляем \(y = 6\) в уравнение для \(z\): \[ z = -\frac{4(6) + 11}{5} \] \[ z = -\frac{24 + 11}{5} \] \[ z = -7 \]
Ответ: \(y = 6, z = -7\)
Если нужны пояснения по какому-либо из шагов, дайте знать!
