65. В правильной треугольной призме АВСА1,В 1С1, все ребра которой равны 1, найдите утол между прямыми АА1и ВС1
66. В правильной треугольной призме АВСА1В1,С1, все рёбри которой равны 2, найдите утол между прямыми ВВ1, и АС1,
Для решения этих задач нужно вспомнить, как выглядят правильные треугольные призмы и что такое угол между прямыми.
### Решение задачи 65
1. **Определение призмы**: В правильной треугольной призме все рёбра равны 1, и у неё основание — правильный треугольник. Точки A, B и C образуют его, а A1, B1 и C1 — соответствующие вершины верхнего основания.
2. **Координаты точек**:
- Положение точек можно задать в трехмерном пространстве. Пусть:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(1, 0, 1) \)
- \( C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right) \)
3. **Векторы**:
- Вектор \( \overrightarrow{AA_1} = (0, 0, 1) \)
- Вектор \( \overrightarrow{BC} = \left(\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0\right) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) \)
4. **Формула угла между векторами**:
Угол \( \phi \) между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) можно найти по формуле:
\[
\cos \phi = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}
\]
5. **Скалярное произведение**:
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (0, 0, 1) \cdot \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) = 0
\]
6. **Длины векторов**:
- \( |\mathbf{a}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \)
- \( |\mathbf{b}| = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1 \)
7. **Итог**:
Поскольку скалярное произведение равно 0, это означает, что угол между этими векторами равен 90 градусам (или \( \frac{\pi}{2} \) радиан).
**Ответ**: Угол между прямыми \( AA_1 \) и \( BC_1 \) равен 90 градусов.
---
### Решение задачи 66
1. **Координаты точек**: Рассмотрим правильную треугольную призму с рёбрами, равными 2. Зададим координаты следующим образом:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(2, 0, 0) \)
- \( C(1, \sqrt{3}, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 2) \)
- \( B_1(2, 0, 2) \)
- \( C_1(1, \sqrt{3}, 2) \)
2. **Векторы**:
- Вектор \( \overrightarrow{BB_1} = (0, 0, 2) \)
- Вектор \( \overrightarrow{AC} = (1, \sqrt{3}, 0) - (0, 0, 0) = (1, \sqrt{3}, 0) \)
3. **Скалярное произведение**:
\[
\overrightarrow{BB_1} \cdot \overrightarrow{AC} = (0, 0, 2) \cdot (1, \sqrt{3}, 0) = 0
\]
4. **Длины векторов**:
- \( |\overrightarrow{BB_1}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 2^2} = 2 \)
- \( |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \)
5. **Итог**:
Поскольку скалярное произведение также равно 0, это означает, что угол между прямыми \( BB_1 \) и \( AC_1 \) также равен 90 градусам.
**Ответ**: Угол между прямыми \( BB_1 \) и \( AC_1 \) равен 90 градусов.
