4. Разложить на множители: a) (x - y)²-y2; 6) c ^ 3 + d ^ 3 - 3cd(c + d)

Давайте решим задачу и разложим указанные выражения на множители.

a) \( (x - y)^2 - y^2 \)

Это выражение можно представить в виде разности квадратов, которая имеет вид \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

1. Определяем \( a \) и \( b \):

   • \( a = (x - y) \)
   • \( b = y \)

2. Подставляем в формулу: \[ (x - y)^2 - y^2 = \left((x - y) - y\right)\left((x - y) + y\right) \]

3. Упрощаем каждую скобку:

   • Первая скобка: \[ (x - y) - y = x - 2y \]
   • Вторая скобка: \[ (x - y) + y = x \]

4. Записываем окончательно: \[ (x - y)^2 - y^2 = (x - 2y)(x) \]

Ответ:

\[ (x - y)^2 - y^2 = (x - 2y)(x) \]

b) \( c^3 + d^3 - 3cd(c + d) \)

Это выражение можно упростить, используя формулу для разложения суммы кубов и формутлу для обработки дополнительных членов.

1. Замечаем, что выражение можно сгруппировать: \[ c^3 + d^3 - 3cd(c + d) = (c + d)^3 - 3cd(c + d) \]

   В этом случае можем представить его как:

   \[ (c + d)^3 - 3cd(c + d) \]

   Это указывает на то, что мы имеем выражение в виде \( a^3 - b^3 \) с \( a = (c + d) \) и \( b = \sqrt[3]{3cd} \).

2. Применим разложение по формуле: \[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \]

   где \( x = c + d \) и \( y = \sqrt[3]{3cd} \).

3. Но поскольку здесь разлагаются суммы и разности, можем воспользоваться и одновременно декомпозировать:

   Для упрощения:

   Рассматривая это в контексте формул, мы можем упростить непосредственно: \[ = (c + d - \sqrt[3]{3cd})((c + d)^2 + (c + d)(\sqrt[3]{3cd}) + (\sqrt[3]{3cd})^2) \]

Ответ:

Данное выражение уже имеет свой вид. Так что мы не можем его разложить на более простые множители, остаёмся на форме \( (c + d)^3 - 3cd(c + d) \).

Таким образом, эта формула может быть окончательным решением, помимо выражения для конкретных \( a \) и \( b \).

Если у вас возникли вопросы или необходимо объяснить что-то подробнее, дайте знать!