Найти промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы. 1) f(x) = - x ^ 2 + 4x - 3 2) f(x) = 2x ^ 3 + 9x ^ 2 - 24x 3) f(x) = x ^ 3 - 27x 4) f(x) = 4x ^ 3 - 1, 5x ^ 4
Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, а также ее экстремумов, необходимо проделать следующие шаги:
- Найти производную функции.
- Определить точки, в которых производная равна нулю (критические точки).
- Проверить знак производной на промежутках, определенных критическими точками.
- Определить значения функции в критических точках и их природу (максимумы или минимумы).
Теперь применим это к каждой из указанных функций.
1) \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \)
Шаг 1: Находим производную
\[ f'(x) = -2x + 4 \]
Шаг 2: Находим критические точки
Установим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ -2x + 4 = 0 \] \[ 2x = 4 \] \[ x = 2 \]
Шаг 3: Проверяем знак производной в промежутках
Проверим знак на промежутках \( (-\infty, 2) \) и \( (2, \infty) \):
Для \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = 4 > 0 \] Значит, функция возрастает.
Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ f'(3) = -2 \cdot 3 + 4 = -2 < 0 \] Значит, функция убывает.
Шаг 4: Определяем экстремум
Найдем значение функции в критической точке: \[ f(2) = -(2^2) + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \]
Таким образом, мы имеем:
- Промежутки возрастания: \( (-\infty, 2) \)
- Промежутки убывания: \( (2, \infty) \)
- Максимум в точке \( (2, 1) \)
2) \( f(x) = 2x^3 + 9x^2 - 24x \)
Шаг 1: Находим производную
\[ f'(x) = 6x^2 + 18x - 24 \]
Шаг 2: Находим критические точки
Установим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 6x^2 + 18x - 24 = 0 \] Сократим уравнение: \[ x^2 + 3x - 4 = 0 \] Решим с помощью формулы: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \] Решения: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -4 \]
Шаг 3: Проверяем знак производной
Проверим знак на промежутках \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 1) \), и \( (1, \infty) \):
Для \( x < -4 \) (например, \( x = -5 \)): \[ f'(-5) = 6 \cdot 25 - 90 - 24 < 0 \] (убывает)
Для \( -4 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = -24 < 0 \] (убывает)
Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ f'(2) = 6 \cdot 4 + 18 \cdot 2 - 24 > 0 \] (возрастает)
Шаг 4: Определяем экстремумы
Найдем значения функции в критических точках: \[ f(-4) = 2(-4)^3 + 9(-4)^2 - 24(-4) = -128 + 144 + 96 = 112 \] \[ f(1) = 2(1)^3 + 9(1)^2 - 24(1) = 2 + 9 - 24 = -13 \]
Итак, у нас есть:
- Промежутки возрастания: \( (1, \infty) \)
- Промежутки убывания: \( (-\infty, -4) \) и \( (-4, 1) \)
- Минимум в точке \( (1, -13) \), максимум в точке \( (-4, 112) \)
3) \( f(x) = x^3 - 27x \)
Шаг 1: Находим производную
\[ f'(x) = 3x^2 - 27 \]
Шаг 2: Находим критические точки
Установим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 - 27 = 0 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Шаг 3: Проверяем знак производной
Проверим знак на промежутках \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 3) \), и \( (3, \infty) \):
Для \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \[ f'(-4) = 48 - 27 > 0 \] (возрастает)
Для \( -3 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = -27 < 0 \] (убывает)
Для \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \[ f'(4) = 48 - 27 > 0 \] (возрастает)
Шаг 4: Определяем экстремумы
Найдем значения функции в критических точках: \[ f(-3) = (-3)^3 - 27(-3) = -27 + 81 = 54 \] \[ f(3) = (3)^3 - 27(3) = 27 - 81 = -54 \]
Итак, у нас есть:
- Промежутки возрастания: \( (-\infty, -3) \) и \( (3, \infty) \)
- Промежутки убывания: \( (-3, 3) \)
- Максимум в точке \( (-3, 54) \), минимум в точке \( (3, -54) \)
4) \( f(x) = 4x^3 - 1.5x^4 \)
Шаг 1: Находим производную
\[ f'(x) = 12x^2 - 6x^3 = 6x^2(2 - x) \]
Шаг 2: Находим критические точки
Установим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ 6x^2(2 - x) = 0 \] Это уравнение имеет корни: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \]
Шаг 3: Проверяем знак производной
Проверим знак на промежутках \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), и \( (2, \infty) \):
Для \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \[ f'(-1) = 6 \cdot 1 \cdot (2 + 1) > 0 \] (возрастает)
Для \( 0 < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \[ f'(1) = 6 \cdot 1 \cdot (2 - 1) > 0 \] (возрастает)
Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ f'(3) = 6 \cdot 9 \cdot (2 - 3) < 0 \] (убывает)
Шаг 4: Определяем экстремумы
Найдем значения функции в критических точках: \[ f(0) = 0 \] \[ f(2) = 4(2)^3 - 1.5(2)^4 = 32 - 24 = 8 \]
Итак, у нас есть:
- Промежутки возрастания: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, 2) \)
- Промежутки убывания: \( (2, \infty) \)
- Минимум в точке \( (0, 0) \), максимум в точке \( (2, 8) \)
Теперь вы имеете полное решение для каждой из указанных функций! Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.
