Решите систему уравнений методом замены переменных: {(x + y)^2 + 2x + 2y = 35, {(x - y)^2 - 2y + 2x = 3.

Для решения системы уравнений методом замены переменных, давайте сначала запишем её:

1. \((x + y)^2 + 2x + 2y = 35\)
2. \((x - y)^2 - 2y + 2x = 3\)

Шаг 1: Определим новые переменные

Чтобы упростить уравнения, введем новые переменные:

• Пусть \( u = x + y \)
• Пусть \( v = x - y \)

Теперь выразим \(x\) и \(y\) через \(u\) и \(v\):

• \( x = \frac{u + v}{2} \)
• \( y = \frac{u - v}{2} \)

Шаг 2: Подставляем переменные в уравнения

Теперь подставим \(u\) и \(v\) в оба уравнения.

Подстановка в первое уравнение:

\[ (u)^2 + 2\left(\frac{u + v}{2}\right) + 2\left(\frac{u - v}{2}\right) = 35 \]

Упростим:

\[ u^2 + (u + v) + (u - v) = 35 \] \[ u^2 + 2u = 35 \] \[ u^2 + 2u - 35 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 12}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

\[ u_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad u_2 = \frac{-14}{2} = -7 \]

Шаг 3: Подставляем \(u\) обратно и решаем для \(v\)

Теперь подставим полученные \(u\) обратно во второе уравнение:

\[ (v)^2 - 2y + 2x = 3 \]

Используя выражения для \(x\) и \(y\):

\[ (v)^2 - 2\left(\frac{u - v}{2}\right) + 2\left(\frac{u + v}{2}\right) = 3 \]

Упростим это уравнение:

\[ v^2 - (u - v) + (u + v) = 3 \] \[ v^2 + 2v = 3 \] \[ v^2 + 2v - 3 = 0 \]

Решим его также с помощью дискриминанта:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Находим корни:

\[ v = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ v_1 = 1, \quad v_2 = -3 \]

Шаг 4: Получаем значения \(x\) и \(y\)

Теперь у нас есть пары \((u, v)\):

1. Для \(u = 5\), \(v = 1\):

   • \(x = \frac{5 + 1}{2} = 3\)
   • \(y = \frac{5 - 1}{2} = 2\)

2. Для \(u = 5\), \(v = -3\):

   • \(x = \frac{5 - 3}{2} = 1\)
   • \(y = \frac{5 + 3}{2} = 4\)

3. Для \(u = -7\), \(v = 1\):

   • \(x = \frac{-7 + 1}{2} = -3\)
   • \(y = \frac{-7 - 1}{2} = -4\)

4. Для \(u = -7\), \(v = -3\):

   • \(x = \frac{-7 - 3}{2} = -5\)
   • \(y = \frac{-7 + 3}{2} = -2\)

Итоговые решения:

Таким образом, мы получаем 4 пары решений:

1. \( (3, 2) \)
2. \( (1, 4) \)
3. \( (-3, -4) \)
4. \( (-5, -2) \)

Эти результаты можно проверить, подставив их в оригинальные уравнения.