Решите систему уравнений методом замены переменных: {(x + y)^2 + 2x + 2y = 35, {(x - y)^2 - 2y + 2x = 3.

Для решения системы уравнений методом замены переменных, давайте сначала запишем её: 1. \((x + y)^2 + 2x + 2y = 35\) 2. \((x - y)^2 - 2y + 2x = 3\) ### Шаг 1: Определим новые переменные Чтобы упростить уравнения, введем новые переменные: - Пусть \( u = x + y \) - Пусть \( v = x - y \) Теперь выразим \(x\) и \(y\) через \(u\) и \(v\): - \( x = \frac{u + v}{2} \) - \( y = \frac{u - v}{2} \) ### Шаг 2: Подставляем переменные в уравнения Теперь подставим \(u\) и \(v\) в оба уравнения. #### Подстановка в первое уравнение: \[ (u)^2 + 2\left(\frac{u + v}{2}\right) + 2\left(\frac{u - v}{2}\right) = 35 \] Упростим: \[ u^2 + (u + v) + (u - v) = 35 \] \[ u^2 + 2u = 35 \] \[ u^2 + 2u - 35 = 0 \] Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144 \] Теперь находим корни уравнения: \[ u = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 12}{2} \] Таким образом, получаем два значения: \[ u_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad u_2 = \frac{-14}{2} = -7 \] ### Шаг 3: Подставляем \(u\) обратно и решаем для \(v\) Теперь подставим полученные \(u\) обратно во второе уравнение: \[ (v)^2 - 2y + 2x = 3 \] Используя выражения для \(x\) и \(y\): \[ (v)^2 - 2\left(\frac{u - v}{2}\right) + 2\left(\frac{u + v}{2}\right) = 3 \] Упростим это уравнение: \[ v^2 - (u - v) + (u + v) = 3 \] \[ v^2 + 2v = 3 \] \[ v^2 + 2v - 3 = 0 \] Решим его также с помощью дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] Находим корни: \[ v = \frac{-2 \pm 4}{2} \] \[ v_1 = 1, \quad v_2 = -3 \] ### Шаг 4: Получаем значения \(x\) и \(y\) Теперь у нас есть пары \((u, v)\): 1. Для \(u = 5\), \(v = 1\): - \(x = \frac{5 + 1}{2} = 3\) - \(y = \frac{5 - 1}{2} = 2\) 2. Для \(u = 5\), \(v = -3\): - \(x = \frac{5 - 3}{2} = 1\) - \(y = \frac{5 + 3}{2} = 4\) 3. Для \(u = -7\), \(v = 1\): - \(x = \frac{-7 + 1}{2} = -3\) - \(y = \frac{-7 - 1}{2} = -4\) 4. Для \(u = -7\), \(v = -3\): - \(x = \frac{-7 - 3}{2} = -5\) - \(y = \frac{-7 + 3}{2} = -2\) ### Итоговые решения: Таким образом, мы получаем 4 пары решений: 1. \( (3, 2) \) 2. \( (1, 4) \) 3. \( (-3, -4) \) 4. \( (-5, -2) \) Эти результаты можно проверить, подставив их в оригинальные уравнения.