КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Порядок подстановки. 2. Инверсия подстановки. 3. Натуральная степень подстановки. 4. Нахождение обратной подстановки. 5. Каноническая запись подстановки.

Чтобы помочь вам понять контрольные вопросы, связанные с подстановками, я предоставлю подробно объясненные ответы на каждый из вопросов. ### 1. Порядок подстановки **Порядок подстановки** (или порядок элемента) в группе теории групп — это минимальное положительное целое число \( n \), такое что \( a^n = e \), где \( a \) — элемент группы, а \( e \) — единичный элемент. В контексте подстановок порядок подстановки можно определить как наименьшее число, при котором подстановка вернёт начальное состояние для всех элементов. #### Пример: Для подстановки \( \sigma = (1 2 3) \), которая переводит 1 в 2, 2 в 3, а 3 в 1, порядок равен 3, так как после 3 применений подстановки все элементы вернутся на свои места. ### 2. Инверсия подстановки **Инверсией подстановки** называется пара элементов, которые находятся в отношении несоответствия в порядке. Формально, инверсией в подстановке \( \sigma \) называют пару \( (i, j) \), такую что \( i < j \) и \( \sigma(i) > \sigma(j) \). #### Пример: Для подстановки \( \sigma = (3 1 2) \), инверсии: - (3, 1) — потому что 3 идет перед 1, но \( \sigma(3) = 2 > \sigma(1) = 1 \). - (3, 2) — потому что 3 идет перед 2, но \( \sigma(3) = 2 > \sigma(2) = 1 \). Таким образом, у этой подстановки 3 инверсии. ### 3. Натуральная степень подстановки **Натуральной степенью подстановки** называется количество раз, который необходимо применить подстановку для возвращения всех элементов в их исходное состояние (это на самом деле уже описано в пункте 1 о порядке подстановки). ### 4. Нахождение обратной подстановки **Обратная подстановка** \(\sigma^{-1}\) это такая подстановка, которая возвращает элементы в их исходные позиции. Находим обратную подстановку путем инверсии направлений всех элементов, то есть если элемент \( x \) подстановки \( \sigma \) отображается в \( y \), то в \( \sigma^{-1} \) \( y \) будет отображаться в \( x \). #### Пример: Если \( \sigma = (1\ 2\ 3) \): - Мы видим, что 1 переходит в 2, 2 переходит в 3, а 3 переходит в 1. - Обратная подстановка будет \( \sigma^{-1} = (3\ 2\ 1) \). ### 5. Каноническая запись подстановки **Каноническая запись подстановки** — это форма, в которой подстановка представляется как произведение циклов. В канонической записи мы группируем элементы, которые замещают друг друга, в циклы. #### Пример: Подстановка \( (1\ 3)(2\ 4) \) представляет собой два цикла: один, где 1 переходит в 3, и другой, где 2 переходит в 4. Эти основные определения и примеры должны помочь вам разобраться в каждом из пунктов, связанных с подстановками. Если вам нужна дополнительная информация или примеры, не стесняйтесь спрашивать!