(х+3)dy + (y-2) dx=0 y0=3 x0=-2
Чтобы решить данное дифференциальное уравнение \((x + 3)dy + (y - 2)dx = 0\) с начальными условиями \(y(0) = 3\) и \(x(0) = -2\), давайте следовать пошагово.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду
Сначала мы можем переписать уравнение в стандартной форме: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y - 2}{x + 3} \]
Это означает, что мы можем рассматривать его как автономное уравнение, где \(y\) зависит от \(x\).
Шаг 2: Разделение переменных
Разделим переменные так, чтобы все \(y\) были с одной стороны, а все \(x\) — с другой: \[ \frac{dy}{y - 2} = -\frac{dx}{x + 3} \]
Шаг 3: Интегрирование обеих сторон
Теперь мы можем интегрировать обе части: \[ \int \frac{dy}{y - 2} = \int -\frac{dx}{x + 3} \]
Шаг 4: Решение интегралов
Решим интегралы:
- Слева: \(\int \frac{1}{y - 2} dy = \ln |y - 2| + C_1\)
- Справа: \(\int -\frac{1}{x + 3} dx = -\ln |x + 3| + C_2\)
Получаем: \[ \ln |y - 2| = -\ln |x + 3| + C \] где \(C\) — постоянная.
Шаг 5: Преобразование уравнения
Теперь избавимся от логарифмов, используя свойства экспоненты: \[ |y - 2| = \frac{K}{|x + 3|} \quad \text{где } K = e^C \text{ (новая постоянная)} \]
Шаг 6: Решение уравнения
Теперь можем записать неравенство: \[ y - 2 = \frac{K}{x + 3} \text{ или } y - 2 = -\frac{K}{x + 3} \]
Для упрощения, возьмем: \[ y = \frac{K}{x + 3} + 2 \]
Шаг 7: Использование начальных условий
Теперь давайте использовать начальные условия \(y(0) = 3\) и \(x(0) = -2\): Подставим \(x = -2\): \[ 3 = \frac{K}{-2 + 3} + 2 \] \[ 3 = \frac{K}{1} + 2 \] \[ K = 3 - 2 = 1 \]
Шаг 8: Получение окончательного решения
Подставим найденное значение \(K\) обратно в уравнение: \[ y = \frac{1}{x + 3} + 2 \]
Итог:
Общее решение уравнения: \[ y = \frac{1}{x + 3} + 2 \]
Таким образом, мы получили решение исходного дифференциального уравнения с учётом указанных начальных условий.
