3. 30 учащихся 10 класса посещают дополнительные занятия по физике, по математике и химии. При этом занятия по математике посещают 20 человек, по физике – 15 человек, по химии – 7 человек. Четверо учащихся посещают занятия и по математике, и по химии. Одновременно занятия по физике и химии никто из учеников не выбрал. Сколько учащихся посещают дополнительные занятия и по физике и по математике?

Давайте разберём задачу шаг за шагом. У нас есть 30 учащихся, которые посещают занятия по физике, математике и химии с такими данными: - Занятия по математике посещают 20 человек. - Занятия по физике посещают 15 человек. - Занятия по химии посещают 7 человек. - 4 учащихся посещают занятия и по математике, и по химии. - Никакой из учащихся не посещает занятия одновременно по физике и химии. Обозначим: - \( M \) — количество учащихся, посещающих занятия по математике. - \( P \) — количество учащихся, посещающих занятия по физике. - \( C \) — количество учащихся, посещающих занятия по химии. - \( x \) — количество учащихся, которые посещают занятия и по физике, и по математике. Теперь подставим известные значения: - \( M = 20 \) - \( P = 15 \) - \( C = 7 \) - \( M \cap C = 4 \) (число учащихся, посещающих и математику, и химию) Теперь мы можем воспользоваться принципом включения-исключения, чтобы выяснить, сколько всего учащихся посещают занятия. Мы знаем, что 30 учащихся — это общее число и оно равно: \[ |M \cup P \cup C| = |M| + |P| + |C| - |M \cap P| - |M \cap C| - |P \cap C| \] Поскольку никто не посещает занятия по физике и химии одновременно, то \( |P \cap C| = 0 \). Подставим все известные значения: \[ 30 = 20 + 15 + 7 - x - 4 - 0 \] Теперь упростим уравнение: \[ 30 = 38 - x \] Переносим \( x \) на левую сторону и 30 на правую: \[ x = 38 - 30 \] \[ x = 8 \] Таким образом, количество учащихся, которые посещают занятия и по физике, и по математике, равно 8. **Ответ: 8 учащихся посещают занятия и по физике, и по математике.**