y = 4x³ - 9x² + 30

Давайте рассмотрим функцию, заданную уравнением \( y = 4x^3 - 9x^2 + 30 \), и разберем её по шагам.

Шаг 1: Понимание функции

Это многочлен третьей степени (кубический многочлен), который может принимать различные значения в зависимости от значения переменной \( x \). В данном уравнении:

• \( 4x^3 \) — это член третьей степени с коэффициентом 4.
• \( -9x^2 \) — это член второй степени с коэффициентом -9.
• \( 30 \) — это свободный член, который является константой.

Шаг 2: График функции

Чтобы лучше понять, как выглядит график данной функции, стоит рассмотреть её поведение на различных участках:

1. Нахождение производной: Это поможет понять, где функция возрастает или убывает. \[ y' = \frac{dy}{dx} = 12x^2 - 18x \]

2. Нахождение критических точек: Установим производную равной нулю, чтобы найти критические точки. \[ 12x^2 - 18x = 0 \] Вынесем общие множители: \[ 6x(2x - 3) = 0 \] Отсюда получаем: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = \frac{3}{2} \]

3. Проверка знаков производной: Чтобы определить, возрастает или убывает функция в промежутках между критическими точками, проверим значения производной в интервалах:

   • Для \( x < 0 \): выберем \( x = -1 \), тогда \( y'(-1) = 12(-1)^2 - 18(-1) = 12 + 18 = 30 \) (функция возрастает).
   • Для \( 0 < x < \frac{3}{2} \): выберем \( x = 1 \), тогда \( y'(1) = 12(1)^2 - 18(1) = 12 - 18 = -6 \) (функция убывает).
   • Для \( x > \frac{3}{2} \): выберем \( x = 2 \), тогда \( y'(2) = 12(2)^2 - 18(2) = 48 - 36 = 12 \) (функция возрастает).

Таким образом, мы можем сказать, что:

• Функция возрастает на интервале \( (-\infty, 0) \),
• Убывает на интервале \( (0, \frac{3}{2}) \),
• Возрастает на интервале \( (\frac{3}{2}, +\infty) \).

Шаг 3: Нахождение значений функции в критических точках

Теперь вычислим значения функции в критических точках:

• Для \( x = 0 \): \[ y(0) = 4(0)^3 - 9(0)^2 + 30 = 30 \]
• Для \( x = \frac{3}{2} \): \[ y\left(\frac{3}{2}\right) = 4\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 9\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 30 \] Вычислим каждую часть: \[ 4 \cdot \frac{27}{8} - 9 \cdot \frac{9}{4} + 30 = \frac{108}{8} - \frac{81}{4} + 30 = \frac{108}{8} - \frac{162}{8} + \frac{240}{8} = \frac{108 - 162 + 240}{8} = \frac{186}{8} = 23.25 \]

Шаг 4: Результаты и график

• Минимум функции достигается в точке \( x = \frac{3}{2} \) и \( y = 23.25 \).
• Максимум функции, судя по производной, на бесконечности не имеет.

Итоги

Таким образом, мы изучили функцию \( y = 4x^3 - 9x^2 + 30 \), нашли её критические точки, исследовали, где она возрастает и убывает, а также нашли значения функции в этих точках. Это поможет вам понять поведение данной функции и построить её график.