В треугольнике ABC AB = 8, ZA = 60°, Z C = 45°. Найдите медиан проведённую к стороне АС. Примечание: sin (a + B) = sin a • cos B + cos a • sin B.

Чтобы найти длину медианы, проведенной к стороне \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где \( AB = 8 \), угол \( \angle A = 60^\circ \) и угол \( \angle C = 45^\circ \), сначала необходимо найти длины сторон \( AC \) и \( BC \).

Шаг 1: Находим угол \( \angle B \)

Сначала мы найдем угол \( \angle B \) с помощью свойства суммы углов в треугольнике:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

Подставляем известные значения:

\[ 60^\circ + \angle B + 45^\circ = 180^\circ \]

Решим это уравнение:

\[ \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Теперь у нас есть все углы треугольника \( ABC \):

• \( \angle A = 60^\circ \)
• \( \angle B = 75^\circ \)
• \( \angle C = 45^\circ \)

Шаг 2: Находим сторону \( AC \) с помощью закона синусов

По закону синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Здесь:

• \( a = BC \) (сторона, против угла \( A \))
• \( b = AC \) (сторона, против угла \( B \))
• \( c = AB = 8 \) (сторона, против угла \( C \))

Итак, мы можем записать:

\[ \frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 75^\circ} \]

Мы знаем, что \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \). Подставляем значения:

\[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь можем подставить это в уравнение:

\[ \frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

Упрощаем:

\[ 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \] \[ \frac{16}{\sqrt{2}} = AC \cdot \frac{4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Теперь выразим \( AC \):

\[ AC = \frac{16}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \] \[ = 4 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \] \[ = 4(\sqrt{3} + 1) \]

Шаг 3: Находим сторону \( BC \)

Используем закон синусов снова:

\[ \frac{8}{\sin 45^\circ} = \frac{BC}{\sin 60^\circ} \] \[ BC = 8 \cdot \frac{\sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = 8 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6} \]

Шаг 4: Находим длину медианы к стороне \( AC \)

Формула для медианы \( m_a \), проведенной к стороне \( a \):

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]

где:

• \( a = AC \)
• \( b = AB = 8 \)
• \( c = BC = 4\sqrt{6} \)

Сначала \( a^2 = (4(\sqrt{3} + 1))^2 = 16(3 + 2\sqrt{3} + 1) = 16(4 + 2\sqrt{3}) = 64 + 32\sqrt{3} \)

Теперь подставим значния в формулу медианы:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2(8^2) + 2(4\sqrt{6})^2 - (64 + 32\sqrt{3})} \]

Вычислим:

• \( 8^2 = 64 \)
• \( (4\sqrt{6})^2 = 96 \)

Теперь подставляем значения:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 64 + 2 \cdot 96 - (64 + 32\sqrt{3})} \] \[ = \frac{1}{2} \sqrt{128 + 192 - 64 - 32\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \sqrt{256 - 32\sqrt{3}} \]

Таким образом, длина медианы, проведённой к стороне \( AC \), равна:

\[ m_a = \frac{1}{2} \sqrt{256 - 32\sqrt{3}} \]

Это окончательный ответ на задачу.