В прямоугольном треугольнике один острый угол в два раза больше другого, найдите гипотенузу если меньший катет равен 8 см. Ответ дайте в см.

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, в котором один острый угол в два раза больше другого, давайте обозначим меньший острый угол как \( \alpha \). Тогда больший острый угол будет равен \( 2\alpha \).

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \( 90^\circ \), поэтому имеем:

\[ \alpha + 2\alpha = 90^\circ \]

Это дает:

\[ 3\alpha = 90^\circ \]

Отсюда следует, что:

\[ \alpha = 30^\circ \]

Следовательно, больший угол будет:

\[ 2\alpha = 60^\circ \]

Теперь мы знаем, что в этом прямоугольном треугольнике один острый угол равен \( 30^\circ \), а другой — \( 60^\circ \).

Воспользуемся свойствами треугольника \( 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ \):

• В этом треугольнике катет, противоположный углу \( 30^\circ \) (это наш меньший катет) составляет половину гипотенузы.
• Катет, противоположный углу \( 60^\circ \) (это больший катет), равен гипотенузе, умноженной на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Пусть гипотенуза будет равна \( c \), тогда по свойству:

\[ a = \frac{c}{2} \]

где \( a \) — это меньший катет. Дана величина меньшего катета:

\[ a = 8 \text{ см} \]

Подставляем в уравнение:

\[ 8 = \frac{c}{2} \]

Умножаем обе стороны на 2:

\[ c = 16 \text{ см} \]

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна \( 16 \text{ см} \).

Ответ: Гипотенуза равна 16 см.