Для решения задачи о прямоугольном треугольнике, в котором один острый угол в два раза больше другого, давайте обозначим меньший острый угол как ( \alpha ). Тогда больший острый угол будет равен ( 2\alpha ).
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ( 90^\circ ), поэтому имеем:
[
\alpha + 2\alpha = 90^\circ
]
Это дает:
[
3\alpha = 90^\circ
]
Отсюда следует, что:
[
\alpha = 30^\circ
]
Следовательно, больший угол будет:
[
2\alpha = 60^\circ
]
Теперь мы знаем, что в этом прямоугольном треугольнике один острый угол равен ( 30^\circ ), а другой — ( 60^\circ ).
Воспользуемся свойствами треугольника ( 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ ):
- В этом треугольнике катет, противоположный углу ( 30^\circ ) (это наш меньший катет) составляет половину гипотенузы.
- Катет, противоположный углу ( 60^\circ ) (это больший катет), равен гипотенузе, умноженной на ( \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Пусть гипотенуза будет равна ( c ), тогда по свойству:
[
a = \frac{c}{2}
]
где ( a ) — это меньший катет. Дана величина меньшего катета:
[
a = 8 \text{ см}
]
Подставляем в уравнение:
[
8 = \frac{c}{2}
]
Умножаем обе стороны на 2:
[
c = 16 \text{ см}
]
Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна ( 16 \text{ см} ).
Ответ: Гипотенуза равна 16 см.
