Баскетболист на тренировке бросает мяч в корзину 6 раз. Вероятность попадания при каждом отдельном броске равна 0,4. Найдите вероятность того, что он попадёт в корзину ровно 3…

Для решения этой задачи мы используем формулу биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (бросков), две возможные исходы (попадание или промах) и постоянная вероятность успеха (попадания).

Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз,
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество успешных исходов,
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании,
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

В нашей задаче:

• \( n = 6 \) (общее количество бросков),
• \( k = 3 \) (количество попаданий),
• \( p = 0.4 \) (вероятность попадания).

Теперь можем подставить значения в формулу:

1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(6, 3) \): \[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \]

2. Теперь подставим значения в формулу: \[ P(X = 3) = C(6, 3) \cdot (0.4)^3 \cdot (1 - 0.4)^{6 - 3} \] \[ = 20 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^3 \]

3. Вычислим \( (0.4)^3 \) и \( (0.6)^3 \): \[ (0.4)^3 = 0.064 \quad \text{и} \quad (0.6)^3 = 0.216 \]

4. Подставляем полученные значения: \[ P(X = 3) = 20 \cdot 0.064 \cdot 0.216 \]

5. Умножим: \[ 20 \cdot 0.064 = 1.28 \] \[ 1.28 \cdot 0.216 = 0.27648 \]

6. Округляем результат до тысячных: \[ P(X = 3) \approx 0.276 \]

Итак, вероятность того, что баскетболист попадёт в корзину ровно 3 раза, составляет примерно 0.276.