решить уравнение
Решим уравнение \(x^4 - 6x^2 + 8 = 0\).
Это уравнение является биквадратным, поскольку оно имеет вид \(x^{2n} + ax^n + b = 0\), где \(n = 2\).
Шаг 1: Замена переменной
Сделаем замену: \(y = x^2\). Тогда уравнение станет:
\[y^2 - 6y + 8 = 0\]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение \(y^2 - 6y + 8 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
Где \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 8\).
Подставим значения в формулу:
\[ y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \]
\[ y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} \]
\[ y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} \]
\[ y = \frac{6 \pm 2}{2} \]
Получаем два возможных значения:
\(y_1 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(y_2 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Шаг 3: Возвращение к переменной \(x\)
Теперь найдем \(x\), зная, что \(y = x^2\).
Для \(y_1 = 4\):
\[x^2 = 4\]
\[x = \pm 2\]
Для \(y_2 = 2\):
\[x^2 = 2\]
\[x = \pm \sqrt{2}\]
Ответ
Таким образом, уравнение имеет четыре решения: \(x = 2\), \(x = -2\), \(x = \sqrt{2}\), \(x = -\sqrt{2}\).
