Решим уравнение (x^4 - 6x^2 + 8 = 0).
Это уравнение является биквадратным, поскольку оно имеет вид (x^{2n} + ax^n + b = 0), где (n = 2).
Шаг 1: Замена переменной
Сделаем замену: (y = x^2). Тогда уравнение станет:
[y^2 - 6y + 8 = 0]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Решим квадратное уравнение (y^2 - 6y + 8 = 0) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}]
Где (a = 1), (b = -6), (c = 8).
Подставим значения в формулу:
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2}
]
[
y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}
]
[
y = \frac{6 \pm 2}{2}
]
Получаем два возможных значения:
(y_1 = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4)
(y_2 = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2)
Шаг 3: Возвращение к переменной (x)
Теперь найдем (x), зная, что (y = x^2).
Для (y_1 = 4):
[x^2 = 4]
[x = \pm 2]
Для (y_2 = 2):
[x^2 = 2]
[x = \pm \sqrt{2}]
Ответ
Таким образом, уравнение имеет четыре решения: (x = 2), (x = -2), (x = \sqrt{2}), (x = -\sqrt{2}).
