Хорда АВ и АС стягивают дуги в 60 и 120 градусов. Радиус окружности равен R. Найдите площадь заштрихованной фигуры
Для решения задачи сначала определим, что такое площади дуг и сектора кругов, так как у нас есть дуги, которые стягиваются двумя хордами. Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Определение секторов окружности:
- У нас есть окружность радиуса \( R \).
- Хорда \( AB \) стягивает дугу \( AC \) равную \( 60^\circ \), что соответствует сектору окружности.
- Хорда \( AC \) стягивает дугу \( AB \) равную \( 120^\circ \), тоже соответствующему сектору.
Площадь сектора: Площадь сектора, который образуется центром окружности, равной углу \( \theta \) (в радианах), вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} R^2 \theta \] Для преобразования угла в радианы используем: \[ \theta = \frac{\text{угол в градусах} \times \pi}{180} \]
Площадь секторов:
Для дуги \( AB \) (\( 120^\circ \)): \[ \theta_1 = \frac{120 \times \pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад} \] Площадь сектора \( S_1 \): \[ S_1 = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{R^2 \pi}{3} \]
Для дуги \( AC \) (\( 60^\circ \)): \[ \theta_2 = \frac{60 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ рад} \] Площадь сектора \( S_2 \): \[ S_2 = \frac{1}{2} R^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{R^2 \pi}{6} \]
Площадь заштрихованной фигуры: Чтобы найти площадь заштрихованной области, вычтем площадь меньшего сектора из площади большего: \[ S_\text{заштрихована} = S_1 - S_2 = \frac{R^2 \pi}{3} - \frac{R^2 \pi}{6} \] Найдем общий знаменатель: \[ \frac{R^2 \pi}{3} = \frac{2R^2 \pi}{6} \] Следовательно: \[ S_\text{заштрихована} = \frac{2R^2 \pi}{6} - \frac{R^2 \pi}{6} = \frac{R^2 \pi}{6} \]
Итоговый ответ: Площадь заштрихованной фигуры равна: \[ S_\text{заштрихована} = \frac{R^2 \pi}{6} \]
Таким образом, мы нашли площадь заштрихованной фигуры методом поэтапного вычисления секторов и разностей.
