Путь длиной 34 км первый велосипедист проезжает на 50 минут дольше второго. Найдите скорость второго велосипедиста, если известно, что она на 5 км/ч больше скорости первого. Ответ…

Для решения данной задачи начнем с того, что нам необходимо найти скорость второго велосипедиста, обозначим её как \( v_2 \) (в км/ч). Скорость первого велосипедиста будет тогда равна \( v_1 = v_2 - 5 \) (в км/ч).

Далее, у нас есть два факта:

1. Длина пути, который проехали оба велосипедиста, составляет 34 км.
2. Первый велосипедист проезжает этот путь на 50 минут (или \( \frac{50}{60} = \frac{5}{6} \) часа) дольше, чем второй.

Теперь мы можем установить уравнения для времени, которое каждая из них тратит на путь.

Шаг 1: Записать уравнения для времени

Время, которое тратит первый велосипедист: \[ t_1 = \frac{34}{v_1} = \frac{34}{v_2 - 5} \]

Время, которое тратит второй велосипедист: \[ t_2 = \frac{34}{v_2} \]

Шаг 2: Установить связь между временем

Согласно условию задачи: \[ t_1 = t_2 + \frac{5}{6} \]

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{34}{v_2 - 5} = \frac{34}{v_2} + \frac{5}{6} \]

Шаг 3: Умножим на общий знаменатель

Умножим всё уравнение на \( 6v_2(v_2 - 5) \) (общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей: \[ 34 \cdot 6v_2 = 34 \cdot 6(v_2 - 5) + 5v_2(v_2 - 5) \]

Шаг 4: Упростить уравнение

Раскроем скобки: \[ 204v_2 = 204(v_2 - 5) + 5v_2^2 - 25v_2 \] \[ 204v_2 = 204v_2 - 1020 + 5v_2^2 - 25v_2 \]

Теперь уберем \( 204v_2 \) с обеих сторон: \[ 0 = 5v_2^2 - 25v_2 - 1020 \]

Шаг 5: Упростить уравнение

Разделим всё на 5: \[ 0 = v_2^2 - 5v_2 - 204 \]

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Здесь \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -204 \): \[ v_2 = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204)}}{2 \cdot 1} \] \[ v_2 = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 816}}{2} \] \[ v_2 = \frac{5 \pm \sqrt{841}}{2} \] \[ v_2 = \frac{5 \pm 29}{2} \]

Шаг 7: Вычислим скорости

Варианты:

1. \( v_2 = \frac{34}{2} = 17 \)
2. \( v_2 = \frac{-24}{2} = -12 \) (не имеет смысла)

Таким образом, скорость второго велосипедиста: \[ v_2 = 17 \text{ км/ч} \]

Шаг 8: Ответ

Скорость второго велосипедиста составляет 17 км/ч.