Решить задачи с решением

Давайте подробно разберём задачи из теста по теореме Пифагора. ### А1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Чему равна его гипотенуза? **Решение:** Для нахождения гипотенузы в прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. Подставим значения: \[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \] **Ответ:** 10 см --- ### А2. Периметр ромба равен 52 см, а одна диагональ равна 24 см. Найдите вторую диагональ. **Решение:** Пусть сторона ромба равна \( a \). Так как периметр ромба равен 52 см, значит: \[ 4a = 52 \quad \Rightarrow \quad a = 13 \text{ см} \] Обозначим диагонали ромба через \( d_1 \) и \( d_2 \). Известно, что \( d_1 = 24 \) см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому они также являются сторонами прямоугольного треугольника, где одна половина диагонали — это его катет, и сторона ромба \( a = 13 \) см — это гипотенуза. По теореме Пифагора: \[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2 = 13^2 \] \[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 12^2 = 169 \] \[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 144 = 169 \] \[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 25 \] \[ \frac{d_2}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad d_2 = 10 \text{ см} \] **Ответ:** 10 см --- ### В1. Стороны равнобедренного прямоугольного треугольника равны \( 2x + 4 \) см и \( 4x - 6 \) см. Найдите его периметр. **Решение:** В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, значит: \[ 2x + 4 = 4x - 6 \] Решим уравнение: \[ 2x + 4 = 4x - 6 \] \[ 10 = 2x \] \[ x = 5 \] Подставим значение \( x \) в выражения для сторон: Катеты: \( 2x + 4 = 14 \) см Найдем гипотенузу с помощью теоремы Пифагора: \[ c = \sqrt{14^2 + 14^2} = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \] Периметр равен: \[ P = 2 \times 14 + 14\sqrt{2} \] **Ответ:** \( 28 + 14\sqrt{2} \) см --- ### В2. Высота ромба делит его сторону пополам. Периметр ромба равен 40 см. Найдите длину стороны ромба и его высоту. **Решение:** Пусть сторона ромба равна \( a \). Поскольку периметр ромба равен 40 см, то: \[ 4a = 40 \quad \Rightarrow \quad a = 10 \text{ см} \] Пусть высота \( h \) делит сторону на два равных отрезка, каждый длины \( \frac{a}{2} = 5 \). Поскольку высота, проведенная в ромбе, образует прямоугольный треугольник, где \( a \) — гипотенуза, \( h \) — высота, и \( \frac{a}{2} \) — катет, можно использовать теорему Пифагора: \[ h^2 + 5^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 25 = 100 \] \[ h^2 = 75 \] \[ h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \] **Ответ:** Длина стороны 10 см, высота \( 5\sqrt{3} \) см.