Решить задачи с решением
Давайте подробно разберём задачи из теста по теореме Пифагора.
А1.
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 см и 8 см. Чему равна его гипотенуза?
Решение: Для нахождения гипотенузы в прямоугольном треугольнике используется теорема Пифагора:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
где \( a \) и \( b \) — катеты, а \( c \) — гипотенуза. Подставим значения:
\[ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
Ответ: 10 см
А2.
Периметр ромба равен 52 см, а одна диагональ равна 24 см. Найдите вторую диагональ.
Решение: Пусть сторона ромба равна \( a \). Так как периметр ромба равен 52 см, значит:
\[ 4a = 52 \quad \Rightarrow \quad a = 13 \text{ см} \]
Обозначим диагонали ромба через \( d_1 \) и \( d_2 \). Известно, что \( d_1 = 24 \) см. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, поэтому они также являются сторонами прямоугольного треугольника, где одна половина диагонали — это его катет, и сторона ромба \( a = 13 \) см — это гипотенуза. По теореме Пифагора:
\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2 = 13^2 \]
\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 12^2 = 169 \]
\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 144 = 169 \]
\[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 25 \]
\[ \frac{d_2}{2} = 5 \quad \Rightarrow \quad d_2 = 10 \text{ см} \]
Ответ: 10 см
В1.
Стороны равнобедренного прямоугольного треугольника равны \( 2x + 4 \) см и \( 4x - 6 \) см. Найдите его периметр.
Решение: В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны, значит:
\[ 2x + 4 = 4x - 6 \]
Решим уравнение:
\[ 2x + 4 = 4x - 6 \]
\[ 10 = 2x \]
\[ x = 5 \]
Подставим значение \( x \) в выражения для сторон:
Катеты: \( 2x + 4 = 14 \) см
Найдем гипотенузу с помощью теоремы Пифагора:
\[ c = \sqrt{14^2 + 14^2} = \sqrt{392} = 14\sqrt{2} \]
Периметр равен:
\[ P = 2 \times 14 + 14\sqrt{2} \]
Ответ: \( 28 + 14\sqrt{2} \) см
В2.
Высота ромба делит его сторону пополам. Периметр ромба равен 40 см. Найдите длину стороны ромба и его высоту.
Решение: Пусть сторона ромба равна \( a \). Поскольку периметр ромба равен 40 см, то:
\[ 4a = 40 \quad \Rightarrow \quad a = 10 \text{ см} \]
Пусть высота \( h \) делит сторону на два равных отрезка, каждый длины \( \frac{a}{2} = 5 \). Поскольку высота, проведенная в ромбе, образует прямоугольный треугольник, где \( a \) — гипотенуза, \( h \) — высота, и \( \frac{a}{2} \) — катет, можно использовать теорему Пифагора:
\[ h^2 + 5^2 = 10^2 \]
\[ h^2 + 25 = 100 \]
\[ h^2 = 75 \]
\[ h = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \]
Ответ: Длина стороны 10 см, высота \( 5\sqrt{3} \) см.
