Расстояние между пунктами A и Б равно 80 80 км. Из пункта А в Б по реке одновременно отправились плот и моторная лодка. Моторная лодка прибыла в пункт Б, тотчас повернула обратно…

Для решения задачи давайте обозначим некоторые параметры и используем формулы, которые помогут нам найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

1. Обозначения:

   • Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде (без учета течения реки) равна \( v \) км/ч.
   • Скорость течения реки равна \( 3 \) км/ч.
   • Расстояние между пунктами A и B равно \( 80 \) км.
   • Плот проплыл \( 39 \) км, пока моторная лодка отправилась в пункт Б и вернулась в пункт A.

2. Скорости:

   • Когда моторная лодка плывёт в сторону пункта B, её действительная скорость равна \( v + 3 \) км/ч (скорость лодки + скорость течения).
   • Когда моторная лодка плывёт обратно в сторону пункта A, её действительная скорость равна \( v - 3 \) км/ч (скорость лодки - скорость течения).

3. Время в пути:

   • Обозначим время, затраченное моторной лодкой на путь в сторону пункта B, как \( t_1 \).
   • Обозначим время, затраченное на обратный путь, как \( t_2 \).

   Время в пути можно выразить через расстояние и скорость: \[ t_1 = \frac{80}{v + 3} \]

   \[ t_2 = \frac{80}{v - 3} \]

4. Общее время: Общее время, затраченное моторной лодкой на путь в одну сторону и обратно: \[ t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{80}{v + 3} + \frac{80}{v - 3} \]

5. Время, затраченное плотом: Плот прошёл \( 39 \) км за то же время, что и моторная лодка прошла в два конца: \[ t_{плот} = \frac{39}{3} = 13 \text{ ч} \]

   Соответственно: \[ t_{total} = 13 \]

6. Равенство времён: Теперь мы можем записать уравнение, где время, затраченное моторной лодкой, равно времени, затраченному плотом: \[ \frac{80}{v + 3} + \frac{80}{v - 3} = 13 \]

7. Решение уравнения: Умножим всё уравнение на \( (v + 3)(v - 3) \) для устранения дробей: \[ 80(v - 3) + 80(v + 3) = 13(v^2 - 9) \] Раскроем скобки: \[ 80v - 240 + 80v + 240 = 13v^2 - 117 \]

   Упростим: \[ 160v = 13v^2 - 117 \]

   Переносим всё в одно уравнение: \[ 13v^2 - 160v - 117 = 0 \]

8. Решение квадратного уравнения: Теперь используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-117) \] \[ D = 25600 + 6084 = 31684 \]

   Находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{160 \pm \sqrt{31684}}{26} \]

   Сначала находим \( \sqrt{31684} \), что примерно равно \( 178.12 \): \[ v = \frac{160 \pm 178.12}{26} \]

   Получаем два значения: \[ v_1 = \frac{338.12}{26} \approx 13.01 \text{ км/ч} \] \[ v_2 = \frac{-18.12}{26} \text{ (отрицательная скорость не имеет смысла)} \]

Таким образом, скорость моторной лодки в неподвижной воде составляет примерно \( 13 \) км/ч.