Расстояние между пунктами A и Б равно 80 80  км. Из пункта А в Б по реке одновременно отправились плот и моторная лодка. Моторная лодка прибыла в пункт Б, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 39 39  км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 3  км/ч

Для решения задачи давайте обозначим некоторые параметры и используем формулы, которые помогут нам найти скорость моторной лодки в неподвижной воде. 1. **Обозначения**: - Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде (без учета течения реки) равна \( v \) км/ч. - Скорость течения реки равна \( 3 \) км/ч. - Расстояние между пунктами A и B равно \( 80 \) км. - Плот проплыл \( 39 \) км, пока моторная лодка отправилась в пункт Б и вернулась в пункт A. 2. **Скорости**: - Когда моторная лодка плывёт в сторону пункта B, её действительная скорость равна \( v + 3 \) км/ч (скорость лодки + скорость течения). - Когда моторная лодка плывёт обратно в сторону пункта A, её действительная скорость равна \( v - 3 \) км/ч (скорость лодки - скорость течения). 3. **Время в пути**: - Обозначим время, затраченное моторной лодкой на путь в сторону пункта B, как \( t_1 \). - Обозначим время, затраченное на обратный путь, как \( t_2 \). Время в пути можно выразить через расстояние и скорость: \[ t_1 = \frac{80}{v + 3} \] \[ t_2 = \frac{80}{v - 3} \] 4. **Общее время**: Общее время, затраченное моторной лодкой на путь в одну сторону и обратно: \[ t_{total} = t_1 + t_2 = \frac{80}{v + 3} + \frac{80}{v - 3} \] 5. **Время, затраченное плотом**: Плот прошёл \( 39 \) км за то же время, что и моторная лодка прошла в два конца: \[ t_{плот} = \frac{39}{3} = 13 \text{ ч} \] Соответственно: \[ t_{total} = 13 \] 6. **Равенство времён**: Теперь мы можем записать уравнение, где время, затраченное моторной лодкой, равно времени, затраченному плотом: \[ \frac{80}{v + 3} + \frac{80}{v - 3} = 13 \] 7. **Решение уравнения**: Умножим всё уравнение на \( (v + 3)(v - 3) \) для устранения дробей: \[ 80(v - 3) + 80(v + 3) = 13(v^2 - 9) \] Раскроем скобки: \[ 80v - 240 + 80v + 240 = 13v^2 - 117 \] Упростим: \[ 160v = 13v^2 - 117 \] Переносим всё в одно уравнение: \[ 13v^2 - 160v - 117 = 0 \] 8. **Решение квадратного уравнения**: Теперь используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения: \[ D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-117) \] \[ D = 25600 + 6084 = 31684 \] Находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{160 \pm \sqrt{31684}}{26} \] Сначала находим \( \sqrt{31684} \), что примерно равно \( 178.12 \): \[ v = \frac{160 \pm 178.12}{26} \] Получаем два значения: \[ v_1 = \frac{338.12}{26} \approx 13.01 \text{ км/ч} \] \[ v_2 = \frac{-18.12}{26} \text{ (отрицательная скорость не имеет смысла)} \] Таким образом, скорость моторной лодки в неподвижной воде составляет примерно \( 13 \) км/ч.